1. На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопро…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Окружность, проходящая через вершину B прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, пересе- 4 кает катеты этого треугольника в точках M и N. Оказалось, чт…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать после…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На плоскости даны две параболы: y = x2 и y = x2 − 1. Пусть U — множество всех 4 точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрез…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Можно ли в каждую клетку таблицы 40×41 записать по целому числу 4 так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Карта Квадрландии представляет собой квадрат 6×6 клеток. Каждая клетка — либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную терри…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Назовём сложностью целого числа n > 1 количество сомножителей в его разложении на простые (например, сложность чисел 4 и 6 равна 2). Для каких n все числа между n и 2n имеют сло…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по 3 счёту с края…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по 4 счёту с края…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Каждая из функций f(x) и g(x) определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Число 2021 = 43 · 47 составное. Докажите, что если вписать в числе 2021 сколько угодно вось- 4 мёрок между 20 и 21, тоже получится составное число. Михаил Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями 2 на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? 2 б) Тот же во…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Может ли произведение каких-то 9 последовательных натуральных 4 чисел равняться сумме (может быть, других) 9 последовательных натуральных чисел? Борис Френкин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Даны n натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое, 4 и для каждой пары хо…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекаю- 4 щая каждую его сторону в двух внутренних точках? Александр Перепечко…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Каждый из квадратных трёхчленов P(x), Q(x) и P(x) + Q(x) с дей- 3 ствительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают? Борис Френкин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться 3 ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки? Сергей Дворянинов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не ука…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Для каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n, ..., 9n выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом n выбрали так, чтобы среди девяти 5 выписанных …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Найдите наибольшее натуральное число n со свойством: для каждого простого числа p, 4 большего 2 и меньшего n, разность n − p также является простым числом. Игорь Акулич…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали k умножений. Оказалось, что в десятичной 4 записи исходного числа и полученных k чисел …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один — медленно, другой — быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. В ряд записаны n > 2 различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим n числам тоже удалось записать 5 в ряд (возм…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Натуральное число k назовем интересным, если произведение первых k простых чисел делится на k (например, произведение 3 первых двух простых чисел — это 2 · 3 = 6, и 2 — число ин…

Турнир городов · Олимпиадный

→