Задание №176944: Турнир городов
1. Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один — медленно, другой — быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той 3 же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше — быстрого хозяина или медленного? Александр Рубин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [3] Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями,
но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку
(собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого
хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или
медленного?
Александр Рубин
Ответ: собаки вернулись одновременно.
Решение 1. Пусть L – расстояние между людьми в момент, когда они отпустили собак, v и V –
скорости людей (V > v), u – скорость собак. Собака медленного хозяина добежит до быстрого
L L(u v)
за время и за это время убежит от своего хозяина на расстояние , а вернется к
u V u V
L(u v)
нему за время . Общее время её «путешествия» равно
(u V)(u v)
L L(u v) 2Lu
. Тот же результат аналогично получится для другой
u V (u V)(u v) (u V)(u v)
собаки.
Решение 2. На рисунке на горизонтальной оси откладывается
расстояние вдоль дорожки, а на вертикальной – время. Точки
A и B соответствуют положениям хозяев (и их собак) в
начальный момент, люди движутся в пространстве-времени
по лучам AC и BC, а собаки – по ломаным APR и BQS.
Поскольку скорости собак одинаковы, AP || QS и BQ || PR.
По теореме Фалеса CQ : CA = CS : CP и CR : CQ = CP : CB,
откуда CR : CA = CS : CB. Следовательно, RS || AB, что и
означает одновременность событий R и S.
Используемые формулы
По теореме Фалеса CQ : CA = CS : CP и CR : CQ = CP : CB,откуда CR : CA = CS : CB.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.