Задание №177068: Турнир городов
1. На плоскости даны две параболы: y = x2 и y = x2 − 1. Пусть U — множество всех 4 точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более 106, целиком содержащийся в U? Алексей Толпыго
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [4] Можно ли в каждую клетку таблицы 40×41 записать по целому числу так, чтобы
число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в
которых написано такое же число?
(А. Грибалко)
Ответ: можно.
Пример 1. Сделаем это для произвольной таблицы. Разобьём её сеткой на
прямоугольники так, что ширина полос по каждому направлению чередуется: 1, 2, 1, 2....
Ясно, что это возможно. Тогда таблица разобьётся на квадраты 2×2, домино 1×2 и
квадратики 1×1. В квадраты впишем двойки, в домино – единицы, в квадратики – нули.
Условие будет выполнено, поскольку фигурки одного вида не имеют общих сторон.
Пример 2. Разобьём таблицу на чередующиеся прямоугольники 1×41 и 3×41. В
больших окантовку заполним двойками. Оставшиеся полоски 1×n разобьём на
чередующиеся доминошки (с единицами) и квадратики (с нулями).
Замечание. Есть и другие примеры, но все они состоят из 0, 1 и 2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.