3. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые 2 соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые 2 фиш- 4 ки, между кот…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а T — точка касания этой окружности со стороной AC. Пусть P и Q — ортоцентры треугольников BAI и BCI соответственно. Докаж…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Треугольник ABC равносторонний. На сторонах AB и AC выбрали точки E и F, а на продол- 6 жении стороны AB — точку K так, что AE = CF = BK. Точка P — середина EF. Докажите, что уг…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Окружности α и β с центрами в точках A и B соответственно пересекаются в точках C и D. Отрезок AB пересекает окружности α и β в точках K и L соответственно. Луч DK вторично пере…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число, а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написанных…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Натуральное число N кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, по- 5 лучится число, не кратное 2020. При каком колич…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. В куче n камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в 5 куче, либо равное 1. Выигрывает взявший после…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них шесть маленьких треугольников. 8 Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите,…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Для каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n, ..., 9n выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом n выбрали так, чтобы среди девяти 7 выписанных …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Пусть n — натуральное число. Назовём последовательность a ,a ,...,a интересной, если для каждого i = 1,2,...,n верно 1 2 n одно из равенств a = i или a = i + 1. Назовем интересн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. На Поле Чудес выросло 11 золотых монет, но стало известно, что ровно четыре из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Л…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки 7 её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой о…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. У пирата есть пять мешочков с монетами, по 30 монет в каждом. Он знает, что в одном лежат золотые монеты, в другом — серебряные, в третьем — бронзовые, а в каждом из двух оставш…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. В таблице 44×44 часть клеток синие, а остальные красные. Никакие синие клетки не граничат друг с другом по стороне. Множество красных клеток, наоборот, связно по сторонам (от лю…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Дан многочлен Р(х) степени n > 5 с целыми коэффициентами, имеющий n различных 6 целых корней. Докажите, что многочлен Р(х)+3 имеет n различных действительных корней. Михаил Малк…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Назовём натуральное число заурядным, если в его десятичной записи встречаются только нули и единицы. Пусть произведение двух заурядных чисел оказалось зауряд- 7 ным числом. Обяз…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, N — основание биссектрисы угла B. Касательная к описанной окружности треугольника AIN 5 в вершине A и касательная к описан…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее кол…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Даны две концентрические окружности Ω и ω. Хорда AD окружности Ω касается ω. Внутри меньшего сегмента AD круга с границей Ω взята произвольная точка P. Касательные из P 6 к окру…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Барон Мюнхгаузен утверждает, что нарисовал многоугольник и точку внутри него так, что 6 любая прямая, проходящая через эту точку, делит этот многоугольник на три многоугольника.…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина — в синий. Може…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Углы при его верши- 5 нах A, C и E равны 100◦. Найдите угол ACE. Михаил Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. В каждой клетке таблицы N × N записано число. Назовём клетку хорошей, если сумма чисел строки, содержащей эту клетку, не меньше, чем сумма чисел столбца, содержащего эту клетку.…

Турнир городов · Олимпиадный

→