Задание №176909: Турнир городов
3. Дан многочлен Р(х) степени n > 5 с целыми коэффициентами, имеющий n различных 6 целых корней. Докажите, что многочлен Р(х)+3 имеет n различных действительных корней. Михаил Малкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [5] Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность w касается стороны BC,
продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая,
проходящая через середины сторон AB и AC, пересекает описанную окружность
треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY.
Давид Бродский
Ответ. 0,5.
Решение. Отметим, что w – вневписанная окружность
треугольника ABC. Пусть J – её центр. Описанная окружность
W треугольника APQ – это окружность с диаметром AJ. Пусть
O – её центр. Гомотетия с центром в точке A и
коэффициентом 0,5 переводит w в окружность с центром O,
касающуюся хорд AP, AQ и XY. Значит, эти хорды
равноудалены от центра W, то есть имеют равные длины. Но,
как известно, длина AP равна половине периметра
треугольника ABC, то есть 0,5.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.