Задание №176986: Турнир городов

2) Q(x) = S2(x). Тогда трёхчлен P(x) + Q(x) = (R(x) S(x))(R(x) + S(x)) имеет кратный
− −
корень, только когда корни линейных функций R(x) S(x) и R(x) + S(x) совпадают. Но в такой
−
точке R(x) = S(x) = 0.
2 [4]. На прямой отметили точки X ,...,X (именно в таком порядке) и построили на
1 10
отрезках X X , X X , ..., X X как на основаниях равнобедренные треугольники с углом α при
1 2 2 3 9 10
вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром X X .
1 10
Найдите α.
(Егор Бакаев)

Ответ: 18◦. Пусть построены треугольники X A X , ...,
1 1 2
X A X , а точки B , ..., B симметричны точкам A , ..., A
9 9 10 1 9 1 9
соответственно (относительно прямой X X ). Очевидно, точ-
1 10
ка X лежит на хорде B A и на хорде B A (i = 2,...,9),
i i−1 i i i−1
поскольку при отражении возникают вертикальные углы (угол
при основании равнобедренного треугольника и такой же угол
отражённого соседнего треугольника). Поэтому
∠X B A = ∠A B A = ∠A B A = ∠A B A = ∠A B X = α.
1 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 10
Следовательно, 5α равно половине дуги X X , то есть 90◦.
1 10
3 [5]. Натуральное число N кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, при-
чём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком
количестве цифр в десятичной записи числа N такое возможно?
(Сергей Токарев)
Ответ: при 6 цифрах.
Если в числе седьмая цифра справа — это a, а третья справа — это b, то, меняя их местами,
мы изменим число на b 106 a 106 + a 102 b 102 = (b a) (104 1) 100. Значит, при такой
· − · · − · − · − ·
замене делимость на 2020 = 20 101 не испортится, поскольку 104 1 делится на 101, а 100 делится
· −
на 20. Поэтому больше 6 цифр в числе N быть не может
Шесть цифр может быть. Например, подходит число 351480 (0 должен оставаться в конце,
обмен 3 и 8 испортит делимость на 4, а обмен соседних цифр или цифр, стоящих через одну или
через две, испортит делимость на 101, поскольку числа 10 1, 102 1 и 103 1 на 101 не делятся).
− − −
Есть и другие примеры, скажем, 531260.
Пяти- или четырёхзначное число, кратное 2020, получается умножением 2020 на число 10a+b,
меньшее 50. У числа 2020b вторая и четвёртая цифры равны, а у числа 20200a они равны нулю,
поэтому у суммы эти цифры равны, что нас не устраивает.
4 [5]. Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обя-
зательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
(Лев Емельянов)
Ответ: обязательно.
Пусть a (cid:54) b (cid:54) c — длины сторон треугольника. Тогда стороны разделятся на такие части:

ab ac ba bc ca cb
a = + , b = + , c = + .
b + c b + c a + c a + c a + b a + b
Из отрезков, составляющих c, первый меньше a, а второй меньше b (так как c < 1).
a+b
Тогда возьмём в первую тройку отрезки ab , ac составляющие a, и отрезок ca . Последний из
b+c b+c a+b
них наибольший (его знаменатель не больше, а числитель не меньше, чем у других), но меньше a.
Во вторую тройку возьмём отрезки ba и bc , составляющие b, и отрезок cb . Последний из
a+c a+c a+b
них наибольший (аналогично), но меньше b.
Возможны и другие способы разбить отрезки на две тройки.