На плоскости даны 4 точки, не лежащие на одной окружности и такие, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется точка Z такая, что для любой из данных точе…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Даны три попарно различные точки на прямой. Сколько существует равнобедренных треугольников, в которых они являются (в каком-нибудь порядке) центрами описанной, вписанной и вневпис…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке E. Окружность с центром в точке E лежит внутри прямоугольника. Из вершин C, D, A проведены касательные к окружности CF, DG, AH, п…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

На оффлайн-собрании присутствовали 12𝑘 людей, причем каждый пожал рукуровно3𝑘+6другимучастникам.Известно,чтодлялюбойпарылюдейчислопожавших руку обоим одинаковое. Сколько человек мо…

Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Даны натуральные числа a < a < ... < a ⩽ 2n. Найдите макси- 0 1 n мальное значение суммы чисел, обратных НОКам каждой пары (a ,a ) при i i+1 i = 0,1,...,n − 1. (Вариация задачи из …

Командная олимпиада 2025 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Произведение нескольких натуральных чисел равно 17875. Наибольшее среди них в пять раз больше наименьшего. Найти эти числа.…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Произведение нескольких натуральных чисел равно 18304. Наибольшее среди них в два раза больше наименьшего. Найти эти числа.…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Олимпиадные работы надо выполнять самостоятельно. Нарушители этого правила могут быть отстранены от участия в олимпиаде: по ходу прошлой олимпиады за сотрудничество при выполнен…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Дано натуральное число n. n-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на n. При каких натуральных n, больших 1, из каждого натурального числа за…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Олимпиадные работы надо выполнять самостоятельно. Нарушители этого правила могут быть отстранены от участия в олимпиаде: В 1 туре за сотрудничество при выполнении работ и копиро…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке I. Докажите, что каждое из расстояний от точки I до вершин треугольника меньше длины средней по величине стор…

Геометрия · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Российские школьники выполняют работы на русском языке. Школьники из зарубежных стран, где есть Национальные оргкомитеты олимпиады, выполняют работы на государственном языке сво…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не ме…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В пещере собрались 100 гномов — по 10 гномов из 10 разных кланов. Каждый из них — рыцарь, всегда говорящий правду, или лжец, который всегда лжет. Каждый из собравшихся назвал кл…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Буратино посадил на Поле Чудес монету, из которой прорастёт денежное дерево, на конце каждой веточки которого будет висеть по монете. Раз в месяц из каждой монеты прорастает «по…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В некоторых клетках клетчатого поля 𝑛 × 𝑛 стоит по шашке так, что в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух больших диагоналей шашек ровно две. При каких𝑛 такое возможно?…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2. 2 Задания пригласительного этапа ВсОШ 2025 по математике 8 класс

2 Задания пригласительного этапа ВсОШ 2025 по математике 8 класс…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задание 2. Вариант 3. У эксперта был набор из 21 внешне одинаковой гирьки: 7 гирек весом 1 г, 7 гирек весом 2 г и 7 гирек весом 3 г. После того как две гирьки из набора потерялись,…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задание 2. Вариант 2. У эксперта был набор из 19 внешне одинаковых гирек: 5 гирек весом 1 г, 7 гирек весом 2 г и…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задание 2. Вариант 1. У эксперта был набор из 18 внешне одинаковых гирек: 4 гирьки весом 1 г, 7 гирек весом 2 г и 7 гирек весом 3 г. После того как две гирьки из набора потерялись,…

Задание 2 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. В остроугольном треугольнике ABC на высоте BD внутри треугольника выбрали точку E. Точка K — середина отрезка AE, точка L — середина отрезка BC. Оказалось, что точки K,D,…

Геометрия · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

Пусть AK –— биссектриса треугольника ABC, точка N на AC такова, что \NKC = \CAB=2, L –— середина KN. Докажите, что \KBN = \LAK.…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

Вневписанная окружность с центром I касается стороны BC треугольника ABC A в точке D. Докажите, что педальные окружности D относительно треугольников ABI и ACI равны. A A…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

В остроугольном треугольнике ABC точка M — середина меньшей дуги BC описанной окружности. Окружность ! касается сторон AB, AC в точках P, Q соответственно и проходит через точку M.…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→