Задание №180826: Командная олимпиада 2021
На оффлайн-собрании присутствовали 12𝑘 людей, причем каждый пожал рукуровно3𝑘+6другимучастникам.Известно,чтодлялюбойпарылюдейчислопожавших руку обоим одинаковое. Сколько человек могло быть на собрании?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: 36
Решение. Подсчитаем упорядоченные тройки. С одной стороны можно выбрать первого
12𝑘 способами, а добрать к нему в тройку второго и третьего — 3𝑘 + 6 и 3𝑘 + 5 спосо-
бов соответственно. С другой стороны если обозначить за 𝑚 количество пожавших руку
двум людям, то первых двух можно выбрать любыми (то есть 12𝑘 и 12𝑘−1 способами), а
третьего можно добрать 𝑚 способами. Имеем 12𝑘(3𝑘 + 6)(3𝑘 + 5) = 12𝑘(12𝑘 − 1)𝑚, тогда
1
9𝑘2 + 33𝑘 + 30
𝑚 = . Числитель на 3 делится, а знаменатель нет, поэтому целым должно
12𝑘 − 1
3𝑘2 + 11𝑘 + 10 12𝑘2 + 44𝑘 + 40 9𝑘 + 43
быть число . Тогда и = 𝑘 + 3 + тоже. Из послед-
12𝑘 − 1 12𝑘 − 1 12𝑘 − 1
него имеем 9𝑘 + 43 ⩾ 12𝑘 − 1 или 𝑘 ⩽ 14. Перебором находим, что 𝑘 = 3, откуда ответ
36. В качестве примера такой конфигурации возьмем 36 человек, каждому из которых
можно присвоить упорядоченную пару остатков при делении на 6. Рукопожатия будут
совершатьлюдиукоторыхпервыйостатокпарысовпал,второйостатокпарысовпалили
суммы остатков в паре совпадают.
Используемые формулы
Имеем 12𝑘(3𝑘 + 6)(3𝑘 + 5) = 12𝑘(12𝑘 − 1)𝑚, тогда𝑚 = .Тогда и = 𝑘 + 3 + тоже.Перебором находим, что 𝑘 = 3, откуда ответ
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.