Задание №180825: Командная олимпиада 2021
Воднойизклетокквадрата2021×2021находитсяневидимыйтаракан.УЛёши есть тапок, которым он раз в минуту ударяет по квадрату 50 × 50; каждый раз в момент удара таракан перебегает на соседнюю по стороне клетку. Докажите, что Лёша сможет убить таракана.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2021» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2021
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2021
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2021» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Решение. Предположимпротивное.Закодируемклеткиквадратапокоординатнопарами
чисел (𝐴,𝐵). Будем говорить, что Леша бьет в клетку (𝐴,𝐵), если он ударил по квадрату с
угловыми клетками (𝐴,𝐵) и (𝐴 + 49,𝐵 + 49).
Будем действовать «заметанием полос». Ударим поочередно по клеткам
(1,1);(50,1);(99,1)…(1 + 49𝑘,1)…(1961,1);(1971,1).
Всего получилось 42 удара. Далее будем повторять такие серии ударов, увеличивая вто-
руюкоординатуна1припереходекследующейсерии(можноувеличиватьинабольшее
число ⩽ 7).
Посмотримнавозможныепозициитараканпослеударов.Таккакквадратсостороной50,
то между ударами в серии таракан не может забежать в предыдущий квадрат из следу-
ющего между ударами. Тогда легко установить, что возможные позиции таракана после
серии — это «лесенка» c шириной ступеньки в 49 и высотой каждой 1 (последняя будет
длины 11). С каждым ударом наша «лесенка» опускается на один уровень в глубь квад-
рата, а где-то поднимается на 50 позиций. За 42 хода первая опустилась на 42, но мы ее
подняли на 50 в первом ходу. Тогда после серии ее высота будет 8, второй ступеньки 9 и
т.д. до высоты в 50 у последней. Когда мы повторяем наше ”заметание полосы”, то высо-
ты поднимаются на 1. Таким образом мы плавно увеличиваем площадь без таракана от
одной стороны до другой.
В 1971 такой серии у нас лесенка не сможет увеличиваться, так как таракану неоткуда
взяться в нашем квадрате. Таким образом мы справимся за 1971 такую серию.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.