Задание №180827: Командная олимпиада 2021

В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 = ∠𝐶 = 90∘. На диагонали 𝐵𝐷 выбраны точки
𝑀,𝑁 так, что 𝐴𝑁 ∥ 𝐵𝐶, 𝐶𝑀 ∥ 𝐴𝐵. На сторонах 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 соответственно выбраны точки
𝑋 и 𝑌 так, что ∠𝑋𝑁𝐵 = ∠𝑌𝑀𝐷 = 90∘. Докажите, что отрезок 𝐴𝐶 равен полупериметру
треугольника 𝐵𝑋𝑌.
Первое решение.
Пусть 𝐴𝐶 пересекает 𝐵𝑋 и 𝐵𝑌 в точках 𝐸 и 𝐹
соответственно. Докажем, что 𝐸 — середина
𝐵𝑋, а 𝐹 — середина 𝐵𝑌.
Из этого будет следовать, что
𝐴𝐶 = 𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐶 = 𝐵𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐵 =
𝐵𝑋 + 𝑋𝑌 + 𝐵𝑌 𝑃
= = 𝛥𝐵𝑋𝑌 .
2 2
Доказательство того, что 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹 = 𝑌𝐹.
Воспользуемся параллельностью 𝐴𝐵 и 𝑀𝐶, а также вписанностью 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐵𝐶𝑌𝑀. Полу-
чается следующая цепочка равенств
∠𝐹𝑌𝐶 = ∠𝐵𝑀𝐶 = ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐴𝐶𝐷.
А из неё уже следует, что 𝐶𝐹 — медиана в прямоугольном треугольнике 𝐵𝐶𝑌.
Аналогичным образом доказывается, что 𝐵𝐸 = 𝐴𝐸 = 𝑋𝐸.
Второе решение. 1 Шаг. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Т.к. ∠𝐵𝑀𝑌 = 90∘ = ∠𝐵𝐶𝑌,
то 𝐵𝐶𝑌𝑀 вписан. Далее из вписанности 𝐵𝐶𝑌𝑀 и параллельности 𝐴𝐵 c 𝐶𝑀 имеем сле-
дующие тождества на уголки:∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐵𝑀𝐶;∠𝐶𝐵𝑌 = ∠𝐶𝑀𝑌 = 90∘ − ∠𝐵𝑀𝐶 = 90∘ −
2

∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐵. Тогда 𝐵𝑌 и 𝐴𝑁 пересекаются в точке 𝐴 на окружности 𝜔 (дополняя точ-
1
кой 𝐴 треугольник 𝐴𝐵𝐶 до равнобокой трапеции). Т.к. 𝐴𝐵𝐶𝐴 равнобокая трапеция, то
1 1
𝐴𝐶 = 𝐵𝐴 . Аналогично определяем 𝐶 и получаем, что 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. Тогда надо доказать,
1 1 1
что 𝐵𝑌 + 𝐵𝑋 + 𝑋𝑌 = 𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 , а это равносильно 𝑋𝑌 = 𝑋𝐶 + 𝑌𝐴 .
1 1 1 1
2 Шаг. Сейчас мы докажем, что D – центр вневписанной окружности треугольника 𝐵𝑋𝑌
напротив вершины 𝐵. Т.к. ∠𝐷𝐴 𝐵 = ∠𝐷𝐶 𝐵 = 90∘, то из этого моментально следует, что
1 1
𝑋𝑌 = 𝑋𝐶 + 𝑌𝐴 .
1 1
1Способ.Извписанности𝐵𝐶𝑌𝑀ипараллельности𝐴𝐵c𝐶𝑀имеемследующиетождества
на уголки: ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐶𝑀;∠𝐷𝐵𝐴 = ∠𝑀𝐶𝑌 = ∠𝐵𝐶𝑌 − ∠𝐴𝐶𝑀 − ∠𝐵𝐶𝐴 = 90∘ − ∠𝐵𝐶𝐴 −
1
∠𝐵𝐴𝐶.Аналогичнополучаем,что∠𝐷𝐵𝐶 = 90∘−∠𝐵𝐶𝐴−∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐵𝐴 .Тогда𝐷 лежит
1 1
набиссектрисеугла𝑋𝐵𝑌,приэтом∠𝑋𝐷𝑌 = 180∘−∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐴 = 90∘−∠𝐷𝐵𝐴 .
1
∠𝑋𝐵𝑌
Это значит, что ∠𝑋𝐷𝑌 = 90∘ − . Т.к. 𝐷 вне треугольника 𝐵𝑋𝑌, то из условия, что
2
𝐷 на биссектрисе, и последнего тождества на углы мы как раз получаем, что это центр
вневписанной окружности.
2Способ.ИзтеоремыПаскалядляшестивершинника𝐴𝐴 𝐵𝐶𝐶 𝐷 мыполучаем,чтопере-
1 1
сечение𝑍 прямых𝐴𝐴 и𝐶𝐶 лежитнапрямой𝑋𝑌.Заметим,что𝑍 –ортоцентртреуголь-
1 1
ника𝐴𝐶𝐷 (𝐴𝑍 ∥ 𝐵𝐶 ⟂ 𝐶𝐷).Тогдаточки𝑍 и𝐴 симметричныотносительно𝐶𝐷 (леммаоб
1
отражении ортоцентра). Тогда из симметрии 𝐴 𝑌 = 𝑍𝑌. Аналогично 𝐶 𝑋 = 𝑍𝑋, откуда
1 1
𝑋𝑌 = 𝑋𝑍+𝑍𝑌 = 𝑋𝐶 +𝑌𝐴 .Чтоитребовалось.(Вэтомрешениимынетолькополучили,
1 1
что 𝐷 - центр вневписанной, но и что 𝑍 – точка касания вневписанной.)