Геометрия — Математика
21 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
1. Незнайка нарисовал картинку справа и заявил, что её можно раскрасить в три цвета так, чтобы любые два прямоугольника, имеющие общую сторону, были разных цветов (прямоугольники, …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке I. Докажите, что каждое из расстояний от точки I до вершин треугольника меньше длины средней по величине стор…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. В остроугольном треугольнике ABC на высоте BD внутри треугольника выбрали точку E. Точка K — середина отрезка AE, точка L — середина отрезка BC. Оказалось, что точки K,D,…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
3. Вершина C равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) лежит на основании AE прямоугольного равнобедренного треугольника ADE. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой BE.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задание 3. Вариант 4. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷) биссектриса угла 𝐴 перпендикулярна боковой стороне 𝐶𝐷. Найдите среднюю линию этой трапеции, если 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐵 = 5.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задание 3. Вариант 3. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷) биссектриса угла 𝐴 перпендикулярна боковой стороне 𝐶𝐷. Найдите среднюю линию этой трапеции, если 𝐴𝐷 = 7, 𝐴𝐵 = 5.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задание 3. Вариант 2. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷) биссектриса угла 𝐴 перпендикулярна боковой стороне 𝐶𝐷. Найдите среднюю линию этой трапеции, если 𝐴𝐷 = 5, 𝐴𝐵 = 3.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задание 3. Вариант 1. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷) биссектриса угла 𝐴 перпендикулярна боковой стороне 𝐶𝐷. Найдите среднюю линию этой трапеции, если 𝐴𝐷 = 4, 𝐴𝐵 = 3.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
4. Земляной холм представляет из себя правильную треугольную пирамиду, все рёбра которой 3 м. На каждом ребре в двух точках, которые делят ребро на три равные части, растёт по цвет…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На стороне AB выпуклого пятиугольника ABCDE расположена точка M так, что AM:AB=1:4. Площади треугольников ADE и BDE равны 3 и 7 соответственно. Найти площадь треугольника MDE.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На стороне AB выпуклого четырехугольника ABCD расположена точка M так, что AM:AB=1:3. Площади треугольников ACD и BCD равны 2 и 5 соответственно. Найти площадь треугольника MCD.…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Сторона BC выпуклого четырехугольника ABCD видна из середины M его стороны AD под углом 90. Биссектрисы треугольника BMC пересекаются в точке I. Известно, что ABM = MIC и BI…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На биссектрисе угла ABC отмечена точка D. На отрезке AB отмечена точка E, а на отрезке BC — точка F, причём AB = DE и BC = DF. Докажите, что из отрезков AD, CD и EF можно сложит…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задача 5. Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) выбрана точка D так, что AD = BC, ∠DAB = ∠DBC. Точка K на отрезке BD такова, что ∠AKD = 60◦. Точки K и B различны. Докаж…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
6. В остроугольном треугольнике провели обе трисектрисы одного из углов (то есть разделили его на 3 равные части), которые разделили противоположную сторону в отношении 5 : 3 : 3. …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
6. Дан разносторонний тупоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с целыми сторонами. Через вершину тупого угла𝐴 провели прямую, параллельную 𝐵𝐶, и отметили точки пересечения этой прямой с биссек…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. В трапеции ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ADC. На основаниях BC и AD выбрали точки X и Y соответственно таким образом, что AX = BD и AY = CD. Оказалось, что BCD =…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задание 8. Вариант 4. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на рисунке. 𝐴 и 𝐵 — вершины, 𝐶 — середина стороны одного из треугольников. Найдите …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задание 8. Вариант 3. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на рисунке. 𝐴 и 𝐵 — вершины, 𝐶 — середина стороны одного из треугольников. Найдите …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задание 8. Вариант 2. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на рисунке. 𝐴 и 𝐵 — вершины, 𝐶 — середина стороны одного из треугольников. Найдите …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задание 8. Вариант 1. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на рисунке. 𝐴 и 𝐵 — вершины, 𝐶 — середина стороны одного из треугольников. Найдите …
Геометрия · Олимпиадный