Задание №175625: Геометрия

ы и решения
Задача 1. Пусть 𝑤– скорость мотоциклиста во время маневра (км/час), 𝑣 - скорость
колонны, 𝐿 - расстояние, на которое продвинулась колонна за время движения
инспектора. Время объезда колонны (вперед и назад) равно:
T =
w
1
− v
+
w
1
+ v
.
Тогда по условию задачи:
v⋅T = L или v

w
1
− v
+
w
1
+ v

= L .
Преобразуем это уравнение:
2 w v = L ( w 2 − v 2 ) или L w 2 − 2 w v − L v 2 = 0 .
w
Введем вспомогательную переменную λ= . Относительно этой переменной получаем
v
квадратное уравнение:
Lλ2 −2λ− L = 0.
1+ 1+ L2
Найдем положительный корень этого уравнения: λ= .
L
Тогда:
( ) ( )
v 1+ 1+ L2 40 1+ 1+ 22
( )
w = = = 20 1+ 5 .
L 2
20(1 + √5).
Задача 2. Введем обозначения: 𝑎 – наименьшее число, 𝑏 – наибольшее число. Разложим число
2673 на простые множители: 2673 = 35 ∙ 11. Число 𝑏 не делится на 11. В противном случае,
число 𝑎 = 𝑏/3 также делилось бы на 11, а 𝑎 ∙ 𝑏 делось бы на 112, что невозможно. Тогда
b = 3p >11→ p ≥ 3, a = 3p−1 → 2p −1≥ 5 → a⋅b = 32p−1 → 2p −1≤ 5.

Сравнение дает

2 p − 1 = 5 → p = 3 → a = 9 , b = 2 7 .
Тогда третьим числом может быть только с = 11.
9, 11, 27.
Задача 3. Пусть x и
1
x
2
− корни уравнения. По условию задачи x
1
= x 32 . Воспользуемся
теоремой Виета: x
1
⋅ x
2
=
1
8
6
1
16
. Отсюда находим: x4 = .
2 81
1 случай. x
2
= 2 / 3 . Тогда x
1
= 8 / 2 7 , а a = − ( x
1
+ x
2
) = − 2 6 / 2 7 .
2 случай. x
2
= − 2 / 3 . Тогда x
1
= − 8 / 2 7 , а a = − ( x
1
+ x
2
) = 2 6 / 2 7 .
a = ±
2
2
6
7
.
Задача 4. Найдем нули подмодульных выражений. Точки 0, 1, 2, 4 разбивают ось на пять
непересекающихся промежутков. Раскроем модули на каждом из них.
1 случай. 𝑥 ∈ (−∞;0]:
−3𝑥 − 4(−𝑥 + 1) + 6(−𝑥 + 2) − 3(−𝑥 + 4) = 2(𝑥 + 2) ↔
−3𝑥 + 4𝑥 − 4 − 6𝑥 + 12 + 3𝑥 − 12 = 2𝑥 + 4 ↔
−4𝑥 = 8 ↔
𝑥 = −2.
Найденный корень удовлетворяет промежутку −2 ∈ (−∞;0].
2 случай. 𝑥 ∈ (0;1]:
3𝑥 − 4(−𝑥 + 1) + 6(−𝑥 + 2) − 3(−𝑥 + 4) = 2(𝑥 + 2) ↔
3𝑥 + 4𝑥 − 4 − 6𝑥 + 12 + 3𝑥 − 12 = 2𝑥 + 4 ↔
2𝑥 = 8 ↔
𝑥 =4.
Найденный корень не удовлетворяет промежутку.
3 случай. 𝑥 ∈ (1;2]:
3𝑥 − 4(𝑥 − 1) + 6(−𝑥 + 2) − 3(−𝑥 + 4) = 2(𝑥 + 2) ↔
3𝑥 − 4𝑥 + 4 − 6𝑥 + 12 + 3𝑥 − 12 = 2𝑥 + 4 ↔
−6𝑥 = 0 ↔
𝑥 =0.
Найденный корень не удовлетворяет промежутку.
4 случай. 𝑥 ∈ (2;4]:
3𝑥 − 4(𝑥 − 1) + 6(𝑥 − 2) − 3(−𝑥 + 4) = 2(𝑥 + 2) ↔
3𝑥 − 4𝑥 + 4 + 6𝑥 − 12 + 3𝑥 − 12 = 2𝑥 + 4 ↔
6𝑥 = 24
𝑥 = 4.
Найденный корень удовлетворяет промежутку 4 ∈ (2;4].
5 случай. 𝑥 ∈ (4;+∞):
3𝑥 − 4(𝑥 − 1) + 6(𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 4) = 2(𝑥 + 2) ↔
3𝑥 − 4𝑥 + 4 + 6𝑥 − 12 − 3𝑥 + 12 = 2𝑥 + 4 ↔
0𝑥 = 0.
Все значения 𝑥 ∈ (4;+∞) являются решением уравнения.
x∈{−2}∪[4;+∞).

Задача 5. Введем обозначения: s
1
, s
2
, s
3
− площади треугольников ACD, BCD, MCD, а h
1
, h
2
,
h
3
− высоты этих треугольников, опущенные на прямую CD. Так как площадь треугольника
ACD меньше площади треугольника BCD, то h
1
< h
2
. Это означает, что прямые AB и CD не
параллельны. Обозначим точку пересечения этих прямых буквой E. Обозначим основания
высот h ,
1
h
2
и h
3
буквами L, F и P соответственно.
Рассмотрим треугольники EAL, EBF и EMP. Из подобия этих треугольников имеем:
h h h
1 = 2 = 3 .
EA EB EM
Умножим эти равенства на
C
2
D
:
E
s
1
A
=
E
s
2
B
=
E
s
M
3 .
Воспользуемся свойствами дробей:
E
s
B
2
−
−
s
E
1
A
=
E
s
B
2
−
−
E
s
3
M
или ↔
s
2
A
−
B
s
1 =
s
2
M
−
B
s
3 .
Найдем отсюда s
3
:
MB AB − AM  AM  2
s = s −(s − s ) = s −(s − s ) = s −(s − s ) 1− = 5−3⋅ = 3.
 
3 2 2 1 AB 2 2 1 AB 2 2 1  AB  3
3
F
C
P
D
L
E A M B
.
Вариант 2