Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрияОлимпиадный

Задание №175385: Геометрия

Условие

5. Сторона BC выпуклого четырехугольника ABCD видна из середины M его стороны AD под углом 90. Биссектрисы треугольника BMC пересекаются в точке I. Известно, что ABM = MIC и BIM = MCD. Докажите, что AI = DI. Обязательно прочитайте всю размещенную ниже информацию! Ваш регистрационной номер — это шестизначный ID заявки, полученный вами при регистрации на олимпиаду. Вопросы по техническим проблемам, возникающим при регистрации участников и работе в личных кабинетах, задавайте письмами по адресу online@sochisirius.ru (служба технической поддержки). Вопросы, связанные с заданиями, задавайте письмами по адресу info@matol.ru. Не следует писать на оба адреса сразу! Олимпиадные работы надо выполнять самостоятельно. Нарушители этого правила могут быть отстранены от участия в олимпиаде: В первых двух турах за использование решений из интернета и сотрудничество при выполнении работ были дисквалифицированы с запретом на дальнейшее участие в олимпиаде 360 участников. В случае выполнения работы с посторонней помощью на основании п. 3.3 Положения об олимпиаде дисквалифицируются и те, кому помогали, и те, кто помогал. Прежде, чем задавать вопрос по заданию, поищите ответ на него в файле по адресу https://docs.google.com/document/d/1LQX2KGc6uSovBttJnVdSW6Is6ImXNhzQAtjE tVVF9dI/edit?usp=share_link Из пяти часов, выделенных на выполнение работы, последний час предназначен для её подготовки к отправке. Откладывая подготовку на последний момент, вы делаете это на свой страх и риск: жалобы на возникшие из-за этого проблемы (не успели отсканировать, пропал интернет и т. п.) рассматриваться не будут. ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОТПРАВКЕ РАБОТЫ

📎 Disttur3_24_.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрияГеометрия · тип 5анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

5. Сторона BC выпуклого четырехугольника ABCD видна из середины M его стороны AD под углом 90 .
Биссектрисы треугольника BMC пересекаются в точке I. Известно, что ABM = MIC и BIM = MCD.
Докажите, что AI = DI. (А. Кузнецов)
Решение. Положим MBC = 2, MCB = 2. Из треугольника BMC имеем 90º+2+2 = 180º, откуда
+ = 45º. По условию ABM = MIC = 135º–, BIM = MCD = 135º–. Пусть C — точка, симметричная
точке C относительно точки M. Так как BM — медиана и высота треугольника CBC, BCC = BCC = 2. Так
как прямая AC симметрична прямой DC относительно точки M и потому параллельна ей,
MCA = MCD = 135º–. Значит, BCA = MCA–BCC = 135º––2 = 90º– = 45º+ = 180º–MCA.
Далее, MBC = 180º–BMC–BCM = 90º–2, откуда ABC = 45º+ и 180º–ABM = 45º+. Следовательно,
CA и BA — биссектрисы внешних углов треугольника BMC. Поэтому точка A лежит на биссектрисе его

внутреннего угла BMC, откуда AMB = 45º и AMI = 90º. Таким образом, IM — медиана и высота
треугольника AID, откуда AI = DI.

Используемые формулы

  • Известно, что ABM = MIC и BIM = MCD.
  • Докажите, что AI = DI.
  • Положим MBC = 2, MCB = 2.
  • Из треугольника BMC имеем 90º+2+2 = 180º, откуда
  • + = 45º.
  • По условию ABM = MIC = 135º–, BIM = MCD = 135º–.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: