Командная олимпиада 2021 — Математика
10 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Воднойизклетокквадрата2021×2021находитсяневидимыйтаракан.УЛёши есть тапок, которым он раз в минуту ударяет по квадрату 50 × 50; каждый раз в момент удара таракан перебегает на сосе…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
На оффлайн-собрании присутствовали 12𝑘 людей, причем каждый пожал рукуровно3𝑘+6другимучастникам.Известно,чтодлялюбойпарылюдейчислопожавших руку обоим одинаковое. Сколько человек мо…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 = ∠𝐶 = 90∘. На диагонали 𝐵𝐷 выбраны точки 𝑀,𝑁 так, что 𝐴𝑁 ∥ 𝐵𝐶, 𝐶𝑀 ∥ 𝐴𝐵. На сторонах 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 соответственно выбраны точки 𝑋 и 𝑌 так, что ∠𝑋𝑁𝐵 = ∠𝑌𝑀𝐷 = 90…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Дан клетчатый квадрат со стороной 1000. За один ход разрешается взять любойпрямоугольник(иликвадрат)иразрезатьегополиниямсеткинадвапрямоугольника, а сразу же после этого разрезать …
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дан набор целых чисел 𝑎 ,𝑎 ,…,𝑎 , по модулю не превосходящих 1000. Из- 1 2 2000 вестно, что сумма всех чисел набора равна 1. Докажите, что в наборе 𝑎 ,𝑎 ,… 𝑎 най- 1 2 2000 дется по…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Даны натуральные числа 𝑛 и 𝑘, причем 𝑛 ⩾ 𝑘. В группе из 𝑛 человек каждый либорыцарь,которыйвсегдаговоритправду,либолжец,которыйвсегдалжет.Антонможет задать всякому человеку следующ…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Докажите, что для любых положительных чисел 𝑎,𝑏,𝑐 справедливо неравенство (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 1)(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ⩾ 2𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1)2.…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Докажите, что для каждого натурального 𝑘 > 1 найдется бесконечно много натуральных 𝑛 таких, что HOK(𝑛,(𝑛 + 1),…,(𝑛 + 𝑘)) > HOK((𝑛 + 1),(𝑛 + 2),…,(𝑛 + 𝑘 + 1)). 1…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Надоскенарисованонесколькоточек.Каждуюсекундувыбираюткакие-тотри точки, и заменяют их на середины соединяющих их отрезков. Докажите, что через некоторое время найдутся три точки, к…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
На окружности с центром в точке 𝑂 отмечены точки 𝐴,𝐵,𝐶 (именно в таком порядке). Известно, что ∠𝐴𝑂𝐵 = 36∘, ∠𝐵𝑂𝐶 = 72∘. Прямые 𝑀𝐶 и 𝑂𝐵 пересекаются в точке 𝑋, где 𝑀 — середина отрез…
Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный