Задание №175409: Задание 2
2. Олимпиадные работы надо выполнять самостоятельно. Нарушители этого правила могут быть отстранены от участия в олимпиаде: по ходу прошлой олимпиады за сотрудничество при выполнении работ и копирование решений из интернета было дисквалифицировано более 400 участников. В случае выполнения работы с посторонней помощью на основании п. 3.3 Положения об олимпиаде отстраняются и те, кому помогали, и те, кто помогал.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 2» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада имени Леонарда Эйлера — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 2» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Дано натуральное число n. n-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от
деления на n. При каких натуральных n, больших 1, из каждого натурального числа за несколько n-операций
получается число, кратное n? (А. Голованов)
Ответ. При n = 2k, где k — натуральное число. Решение. Заметим, что если m = an+r, то разность чисел
m+r = an+2r и 2m = 2an+2r делится на n, и потому остатки от деления этих чисел на n одинаковы. Поэтому с
точки зрения делимости на n, означающей равенство 0 остатка от деления на n, вместо n-операции можно
рассматривать операцию умножения числа на 2. После k таких операций мы из числа m получим число 2km.
Если n = 2k, то это число будет делиться на n. Значит, все степени двойки нам подходят. С другой стороны, из
m = 1 будут получаться только степени двойки, и делимости ни на какие другие числа не будет.
Используемые формулы
При n = 2k, где k — натуральное число.Заметим, что если m = an+r, то разность чиселm+r = an+2r и 2m = 2an+2r делится на n, и потому остатки от деления этих чисел на n одинаковы.Если n = 2k, то это число будет делиться на n.m = 1 будут получаться только степени двойки, и делимости ни на какие другие числа не будет.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.