Задание №175334: Задание 2
2. Буратино посадил на Поле Чудес монету, из которой прорастёт денежное дерево, на конце каждой веточки которого будет висеть по монете. Раз в месяц из каждой монеты прорастает «потомство» в виде 2 или 5 новых веточек с монетами (старые монеты при этом исчезают). Буратино может (но не обязан) в конце каждого месяца снять с дерева ровно 3 монеты (тогда эти веточки больше расти не будут). Может ли в какой-то момент на дереве оказаться ровно 999 монет? ( П. Д. Муленко) Ответ: Нет. Решение. Если в очередной месяц количество монет равнялось 𝑥 +𝑦, где 𝑥 — это количество монет, из которых прорастут 2 новые, а 𝑦 — это количество монет, из которых прорастут 5 новых, то в следующем месяце количество монет будет равно 2𝑥+5𝑦 или 2𝑥+5𝑦−3 в зависимости от того, решит Буратино снять 3 монеты с дерева или нет. Заметим, что если 𝑥 +𝑦 не делится на три (иными словами, хотя бы одно из чисел 𝑥 и 𝑦 не делится на 3), то и новое число монет не будет делиться на 3. А поскольку Буратино изначально посадил 1 монету (что не кратно 3), то и в любой последующий месяц количество монет не будет кратно 3. Значит, 999 монет (что делится на 3) получиться не могло. Критерии. Только ответ «да» или «нет» — 0 баллов. Сформулирована идея инварианта по модулю 3 — +3 балла.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 2» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 2» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Буратино посадил на Поле Чудес монету, из которой прорастёт денежное дерево, на конце
каждой веточки которого будет висеть по монете. Раз в месяц из каждой монеты прорастает
«потомство» в виде 2 или 5 новых веточек с монетами (старые монеты при этом исчезают).
Буратино может (но не обязан) в конце каждого месяца снять с дерева ровно 3 монеты (тогда
эти веточки больше расти не будут). Может ли в какой-то момент на дереве оказаться ровно
999 монет? ( П. Д. Муленко)
Ответ: Нет.
Решение. Если в очередной месяц количество монет равнялось 𝑥 +𝑦, где 𝑥 — это количество
монет, из которых прорастут 2 новые, а 𝑦 — это количество монет, из которых прорастут 5 но-
вых, то в следующем месяце количество монет будет равно 2𝑥+5𝑦 или 2𝑥+5𝑦−3 в зависимости
от того, решит Буратино снять 3 монеты с дерева или нет.
Заметим, что если 𝑥 +𝑦 не делится на три (иными словами, хотя бы одно из чисел 𝑥 и 𝑦 не де-
лится на 3), то и новое число монет не будет делиться на 3. А поскольку Буратино изначально
посадил 1 монету (что не кратно 3), то и в любой последующий месяц количество монет не
будет кратно 3. Значит, 999 монет (что делится на 3) получиться не могло.
Критерии. Только ответ «да» или «нет» — 0 баллов.
Сформулирована идея инварианта по модулю 3 — +3 балла.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.