Задание №175328: Задание 2
2. Буратино посадил на Поле Чудес монету, из которой прорастёт денежное дерево, на конце каждой веточки которого будет висеть по монете. Раз в месяц из каждой монеты прорастает «потомство» в виде 2 или 5 новых веточек с монетами (старые монеты при этом исчезают). Через некоторое количество месяцев Буратино собрал с дерева весь «урожай» в размере 2026 монет. Какое наибольшее количество месяцев могло пройти? ( П. Д. Муленко) Ответ: 10. Решение. Так как каждый месяц из монеты прорастает или 2, или 5 новых монет, то общее число монет на дереве за месяц как минимум удваивается (а как максимум, увеличивается в 5 раз). Это означает, что через 10 месяцев количество монет на дереве не меньше чем 210 = 1024, а через 11 месяцев — не менее чем 1024 · 2 = 2048, что уже больше, чем 2026. Значит, могло пройти не более 10 месяцев. При этом необходимо показать, что такое вообще могло пройзойти (то есть что Буратино действительно мог собрать ровно 2026 монет). Предположим, что в первые 9 месяцев из каждой монеты прорастало 2 веточки, тогда их будет ровно 1024/2 = 512. И если в последний месяц из 334 монет прорастёт по 5 новых монет, а из остальных 512 − 334 = 178 монет прорастёт только по 2 новые монеты, то общее число монет как раз будет 334 · 5 + 178 · 2 = 2026. Критерии. Только ответ без объяснения — 1 балл. Доказана только оценка (без примера) — 3 балла. Дан только пример на 10 месяцев — 4 балла.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 2» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 2» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Буратино посадил на Поле Чудес монету, из которой прорастёт денежное дерево, на конце
каждой веточки которого будет висеть по монете. Раз в месяц из каждой монеты прорастает
«потомство» в виде 2 или 5 новых веточек с монетами (старые монеты при этом исчезают).
Через некоторое количество месяцев Буратино собрал с дерева весь «урожай» в размере 2026
монет. Какое наибольшее количество месяцев могло пройти? ( П. Д. Муленко)
Ответ: 10.
Решение. Так как каждый месяц из монеты прорастает или 2, или 5 новых монет, то общее
число монет на дереве за месяц как минимум удваивается (а как максимум, увеличивается в 5
раз). Это означает, что через 10 месяцев количество монет на дереве не меньше чем 210 = 1024,
а через 11 месяцев — не менее чем 1024 · 2 = 2048, что уже больше, чем 2026. Значит, могло
пройти не более 10 месяцев.
При этом необходимо показать, что такое вообще могло пройзойти (то есть что Буратино дей-
ствительно мог собрать ровно 2026 монет). Предположим, что в первые 9 месяцев из каждой
монеты прорастало 2 веточки, тогда их будет ровно 1024/2 = 512. И если в последний месяц из
334 монет прорастёт по 5 новых монет, а из остальных 512 − 334 = 178 монет прорастёт только
по 2 новые монеты, то общее число монет как раз будет 334 · 5 + 178 · 2 = 2026.
Критерии. Только ответ без объяснения — 1 балл.
Доказана только оценка (без примера) — 3 балла.
Дан только пример на 10 месяцев — 4 балла.
Используемые формулы
Это означает, что через 10 месяцев количество монет на дереве не меньше чем 210 = 1024,а через 11 месяцев — не менее чем 1024 · 2 = 2048, что уже больше, чем 2026.монеты прорастало 2 веточки, тогда их будет ровно 1024/2 = 512.334 монет прорастёт по 5 новых монет, а из остальных 512 − 334 = 178 монет прорастёт толькопо 2 новые монеты, то общее число монет как раз будет 334 · 5 + 178 · 2 = 2026.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.