Задание №175322: Задание 2

2. В каждую пустую клетку квадрата 3×3 справа надо поставить по одной цифре
так, чтобы во всех строках и столбцах сумма была одинакова и при этом ров-
но одна цифра присутствовала в квадрате ровно 1 раз (все остальные цифры
должны присутствовать хотя бы дважды или отсутствовать вовсе). Найдите
все решения и докажите, что других нет. ( П. Д. Муленко)
Ответ: Есть 2 способа:
6 9 7 6 9 8

8 7 7 9 7 7

8 6 8 8 7 8
Решение. Обозначим число в правом верхнем углу за 𝑥. Тогда, из верх-
ней строки, сумма должна быть равна 𝑥 + 15, откуда:
6 9 𝑥
• в правом столбце нижнее число должно быть равно 𝑥 + 15 − 𝑥 − 7 = 8,
• в левом столбце среднее число должно быть равно 𝑥 +15−6−8 = 𝑥 +1, 𝑥+1 7 7
• в нижней строке среднее число должно быть равно 𝑥 +15−8−8 = 𝑥 −1,
• наконец, центральное число в средней строке должно быть равно 𝑥 + 8 𝑥−1 8

15 − (𝑥 + 1) − 7 = 7.
Цифры 6 и 9 представлены по одному разу на текущий момент, а, согласно условию, только
одна цифра во всей таблице должна присутствовать один раз. Значит, одной из трёх неизвест-
ных цифр является или 6, или 9. Перебирая 6 возможных случаев, находим два подходящих:

когда 𝑥 − 1 = 6, или когда 𝑥 + 1 = 9 (в иных случаях среди неизвестных цифр будут ещё
уникальные).
Критерии. Только примеры без какого-либо обоснования — +1 балл за каждый.
Доказано, что в центре стоит цифра 7 — +1 балл.

Доказано, что в правом нижнем углу стоит цифра 8 — +1 балл.
Среди возможных заполнений есть хотя бы одно неправильное — 0 баллов.

6