Задание №175316: Задание 2
2. В каждую пустую клетку квадрата 3 × 3 справа надо поставить по одной цифре так, чтобы во всех строках и столбцах сумма была одинакова, а всякая цифра присутствовала в квадрате хотя бы дважды (или отсутствовала). Найдите все решения и докажите, что других нет. ( П. Д. Муленко) Ответ: Это можно сделать только одним способом: 2 4 3 3 3 3 4 2 3 Решение. Обозначим левое число в средней строке за 𝑥. Тогда, из левого столбца, сумма должна быть равна 𝑥 + 6, откуда: 2 𝑥+1 3 • в средней строке центральное число должно быть равно𝑥 +6−𝑥 −3 = 3, • в нижней строке правое число должно быть равно 𝑥 + 6 − 2 − 4 = 𝑥, 𝑥 3 3 • в правом столбце верхнее число должно быть равно 𝑥 + 6 − 𝑥 − 3 = 3, • наконец, центральное число в верхней строке должно быть равно 𝑥 + 4 2 𝑥 + 6 − 2 − 3 = 𝑥 + 1. Поскольку каждая цифра должна быть представлена хотя бы дважды, какая-то из неизвестных цифр должна быть равна 4. Если 𝑥 = 4, то тогда центральная цифра верхней строки равна 5, но эта цифра больше нигде не повторяется. Значит, 𝑥 +1 = 4, и другие две незаполненные клетки содержат цифру 3. Критерии. Только пример без какого-либо обоснования — 2 балла. Доказано, что в центре и в правом верхнем углу стоят тройки — +1 балл за каждую. Среди возможных заполнений есть хотя бы одно неправильное — 0 баллов.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 2» и рассчитано на уровень 5 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 2» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. В каждую пустую клетку квадрата 3 × 3 справа надо поставить по одной циф-
ре так, чтобы во всех строках и столбцах сумма была одинакова, а всякая цифра
присутствовала в квадрате хотя бы дважды (или отсутствовала). Найдите все ре-
шения и докажите, что других нет. ( П. Д. Муленко)
Ответ: Это можно сделать только одним способом:
2 4 3
3 3 3
4 2 3
Решение. Обозначим левое число в средней строке за 𝑥. Тогда, из левого
столбца, сумма должна быть равна 𝑥 + 6, откуда:
2 𝑥+1 3
• в средней строке центральное число должно быть равно𝑥 +6−𝑥 −3 = 3,
• в нижней строке правое число должно быть равно 𝑥 + 6 − 2 − 4 = 𝑥, 𝑥 3 3
• в правом столбце верхнее число должно быть равно 𝑥 + 6 − 𝑥 − 3 = 3,
• наконец, центральное число в верхней строке должно быть равно 𝑥 + 4 2 𝑥
+ 6 − 2 − 3 = 𝑥 + 1.
Поскольку каждая цифра должна быть представлена хотя бы дважды, какая-то из неизвестных
цифр должна быть равна 4. Если 𝑥 = 4, то тогда центральная цифра верхней строки равна 5, но
эта цифра больше нигде не повторяется. Значит, 𝑥 +1 = 4, и другие две незаполненные клетки
содержат цифру 3.
Критерии. Только пример без какого-либо обоснования — 2 балла.
Доказано, что в центре и в правом верхнем углу стоят тройки — +1 балл за каждую.
Среди возможных заполнений есть хотя бы одно неправильное — 0 баллов.
Используемые формулы
• в средней строке центральное число должно быть равно𝑥 +6−𝑥 −3 = 3,• в нижней строке правое число должно быть равно 𝑥 + 6 − 2 − 4 = 𝑥, 𝑥 3 3• в правом столбце верхнее число должно быть равно 𝑥 + 6 − 𝑥 − 3 = 3,+ 6 − 2 − 3 = 𝑥 + 1.Если 𝑥 = 4, то тогда центральная цифра верхней строки равна 5, ноЗначит, 𝑥 +1 = 4, и другие две незаполненные клетки
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.