Задача 1. Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2031 в ряд так, что для любого k = 1,2,...,2031 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2029 в ряд так, что для любого k = 1,2,...,2029 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2027 в ряд так, что для любого k = 1,2,...,2027 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2025 в ряд так, что для любого k = 1,2,...,2025 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Точка R — середина отрезка ST; точка R — середина отрезка SR ; для 1 2 1 каждого n ⩾ 3 точка R — середина отрезка R R . Пусть R — предельное положение n n−2 n−1 точки R п…

ОММО 2023 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1. Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 71 187 117

Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 71 187 117…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1. Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 93 165 143

Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 93 165 143…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1. Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 80 137 188

Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 80 137 188…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1. Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 64 154 214

Задача 1. Что больше: 1 или + + ? 64 154 214…

ОММО 2019 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Вася и Маша поженились в 1994 году. С тех пор у них родилось четверо детей, и новый 2015 год встречали уже все шестеро. По странному совпадению все дети родились 6 феврал…

ОММО 2016 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Представьте в виде несократимой дроби 7 5 2008 2011 7 6 × 4 − 7 × 2 − 7 × . 2015 2016 2015 2016 2015…

ОММО 2016 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Представьте в виде несократимой дроби 3 11 2012 2005 3 6 × 8 − 11 × 3 − 12 × . 2015 2016 2015 2016 2015…

ОММО 2016 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Представьте в виде несократимой дроби 16 17 1999 1999 16 6 × 9 − 2 × 17 − 27 × . 2015 2016 2015 2016 2015…

ОММО 2016 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии …

ОММО 2015 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

ОММО 2015 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

ОММО 2015 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены равны 1 2 n x + x + x между собой. Для всех n ‡ 3 выполняется равенство x = n n- 1 n- 2 . Найди…

ОММО 2014 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены 1 2 n равны между собой. Для всех n ‡ 2 сумма x + x вдвое больше числа x . Найдите n+1 n- 1 n x…

ОММО 2014 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены равны 1 2 n между собой. Для всех n ‡ 2 выполняется равенство x + x + x x = n- 1 n n+ 1 . n 3 x…

ОММО 2014 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На стороне 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точку 𝑂. При повороте на 90◦ вокруг точки 𝑂 этот треугольник перешёл в треугольник 𝐷𝐶𝐸. Оказалось, что площадь 𝐴𝐵𝐶𝐷 в 4 ра…

Геометрия · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычислили разность (вычитая из большей цифры меньшую). Какой наибольшей степени двойки может равняться произведение всех этих разносте…

Задание 1 · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 17 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 8 8 9 · 25 15 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 17 17 172 17 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·7…

Геометрия · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1 при всех 𝑥 из области допустимых значений. Пусть 𝑎 = log√ (︀𝑥 + 7 )︀ , 𝑏 = log (29 − 𝑥), 𝑐 = 29−𝑥 7 (𝑥+1)2 log√ (−𝑥 − 1). Тогда 𝑥+7 7 𝑎𝑏𝑐 = log√ (︀𝑥 + 7 )︀ ·log (29 − 𝑥) · log√ (…

Уравнения · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀4)︀2 65 7 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 33 33 98 · 32 56 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 65 65 652 65 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1·…

Геометрия · Олимпиадный

→