Турнир городов — Математика
25 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №5 · Математика · Олимпиада
5. Дано 2n+1 чисел (n — натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны n. 5 Для каких n эти числа можно записать в одну …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту 5 (возможно, не все из разных вершин), лежащие вн…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. а) На каждой стороне 10-угольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти 2 окружности имеют общую точку, не совпадающую…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одина- 8 ковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, 7 начинает Петя. В свой ход игрок выбирает лю- 6 бую фишку и сдвигает её либо по вер…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. У Васи есть неограниченный запас брусков 1 × 1 × 3 и уголков из трёх кубиков 1 × 1 × 1. Вася целиком запол- 5 нил ими коробку m × n × k, где m, n и k — целые числа, большие чем …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами 1, 2, ..., 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме мас…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Прямоугольник 1×3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску 20 × 21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя плати…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. В турнире участвовали 20 шахматистов. Каждый играл с каждым один раз белыми и один раз чёрными. Обязательно ли най- 5 дутся такие два шахматиста, что один из них выиграл не мень…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На каждой клетке доски 5 × 5 лежит по одной монете, все монеты внешне одинаковы. Среди них ровно 2 монеты фальшивые, они одинакового веса и легче настоящих, которые тоже весят о…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Вас…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Есть N удавов, их пасти имеют размеры 1 см, 2 см, ..., N см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду н…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Петя и Вася нашли 100 кубиков одинакового размера, 50 из них были белого цвета и 50 — чёрного. Они придумали игру. Назовём башенкой один или несколько кубиков, стоящих друг на д…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Набор состоит из одинаковых трёхклеточных уголков, у которых центральные клетки испачканы краской. Прямоугольную доску покрыли в 5 один слой уголками, не выходящими за пределы д…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль 12 разности числа камн…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N. Число a он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное 12 на доску…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и 10 то…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Пусть p и q — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на p вправо, либо на q влево. Однажды 12 лягу…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Выпуклый четырехугольник ABCD обладает таким свойством: ни из каких трёх его сторон нельзя сложить треугольник. Докажите, что 6 а) один из углов этого четырехугольника не больше…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. На плоскости нарисован выпуклый многоугольник M, и дано простое число p. Оказалось, что существует ровно p разбиений многоугольника M на равносторонние треугольники 12 со сторон…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треуголь- 10 ника. Докажите, что эти треугольники равны. Александр Юран СОРОК ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весе…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Известно, что среди нескольких купюр, номиналы которых — попарно различные натуральные числа, есть ровно N фальшивых. Детектор за одну проверку определяет сумму номиналов всех н…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. В белых клетках шахматной доски 100×100 стоят 100 слонов, среди которых есть белые и чёрные. Они могут делать ходы в любом порядке и бить слонов противоположного 12 цвета. Каког…
Турнир городов · Олимпиадный