Задание №176960: Турнир городов
7. На плоскости нарисован выпуклый многоугольник M, и дано простое число p. Оказалось, что существует ровно p разбиений многоугольника M на равносторонние треугольники 12 со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника M равна p − 1. Николай Белухов СОРОК ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур, 10 – 11 классы, сложный вариант, март 2022 г. (Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.) баллы задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] На Поле Чудес выросло 8 золотых монет, но стало известно, что ровно три из них
фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче
настоящих. Лиса Алиса и Буратино собрали монеты и стали их делить. Алиса собирается отдать
Буратино три монеты, но он хочет сначала проверить, все ли они настоящие. Сможет ли он
сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь?
Александр Грибалко
Ответ: сможет.
Решение 1. Пусть сначала Буратино сравнит три свои монеты с тремя монетами Алисы. Если
его чаша окажется легче, то у него есть фальшивые монеты. В случае равновесия – тоже есть,
поскольку настоящих монет всего пять.
Пусть чаша Буратино тяжелее (то есть на чаше Алисы фальшивых монет больше). Тогда он
заменит две монеты с чаши Алисы на ещё неиспользованные. Если и теперь чаша Буратино
перевесит, то все монеты у него настоящие: иначе оба раза на чаше Алисы было по две
фальшивые монеты, что невозможно. В противном случае, как показано выше, какие-то из
монет Буратино фальшивые.
Решение 2. Достаточно использовать только три монеты (a, b, c) Буратино и одну монету (d)
Лисы. Сначала Буратино сравнит c с d. Если c < d, то монета c фальшивая.
В противном случае он сравнит a + b с c + d. Если при первом взвешивании c > d, то
монета c настоящая, а d фальшивая. Тогда Буратино устраивает только результат a + b > c + d.
Если же c = d, то Буратино устраивает только результат a + b = c + d (поскольку четырёх
фальшивых монет нет).
Используемые формулы
Если же c = d, то Буратино устраивает только результат a + b = c + d (поскольку четырёх
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.