Геометрия — Математика
17 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
1. На стороне 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точку 𝑂. При повороте на 90◦ вокруг точки 𝑂 этот треугольник перешёл в треугольник 𝐷𝐶𝐸. Оказалось, что площадь 𝐴𝐵𝐶𝐷 в 4 ра…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 17 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 8 8 9 · 25 15 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 17 17 172 17 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·7…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀4)︀2 65 7 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 33 33 98 · 32 56 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 65 65 652 65 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1·…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 25 4 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 7 7 32 · 18 24 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 25 25 252 25 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 29 7 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 20 20 49 · 9 21 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 29 29 292 29 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀1)︀2 5 2 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 3 3 16 4 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 5 5 25 5 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 · 𝐶𝑃 · 𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 · 4𝑦 · 5𝑦 …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + 22 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 3 3 16 4 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 5 5 25 5 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 · 𝐶𝑃 · 𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 · 3𝑦 · 5𝑦 · 4 = …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀1)︀2 5 2 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 3 3 16 4 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 5 5 25 5 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·5𝑦 ·6𝑦 · 4 …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀7)︀2 37 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 12 12 49 · 25 35 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 37 37 372 37 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. У тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 все три плоских угла при вершине 𝐴 равны 60◦, а длина каждого ребра — целое число. Обязательно ли все грани тетраэдра равны? ( А. А. Теслер) Ответ: Нет. Наприме…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. В окружность 𝜔 вписан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Отрезок 𝐵𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐷𝐹 в точках 𝐺 и 𝐻 соответственно, а отрезок 𝐴𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐵𝐹 в точках 𝐽 и 𝐾 с…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
3. Один и тот же прямоугольник является сечением двух разных кубов. Каково максимально возможное отношение объёмов этих кубов? (А. А. Теслер)…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На ребрах A B и D C треугольной пирамиды A B C D расположены точки M и N так, что AM : AB =1:4 и D N : D C = 3 : 4 . На прямых D M и A N взяты точки P и Q так, что прямые P Q и …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На ребрах A B и DC треугольной пирамиды A B C D расположены точки M и N так, что A M : A B = 1 : 3 и D N : D C = 2 : 3 . На прямых D M и A N взяты точки P и Q так, что прямые P …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На шахматной доске лежит квадрат, площадь которого вдвое больше, чем площадь одной клетки, а стороны параллельны диагоналям клеток. Какую долю от площади квадрата может составля…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Если в волшебный автомат ввести натуральное число 𝑛 > 1, то он строит клетчатый квадрат 𝑛 × 𝑛, удаляет из него одну клетку и рисует такие фигуры до тех пор, пока их суммарная пл…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
7. Паша и Варя играют в такую игру. Каждый игрок своим ходом отмечает на плоскости точку, пока не будут отмечены 2025 точек (начинает и заканчивает игру Паша). После этого Варя дол…
Геометрия · Олимпиадный