Задание №175367: Геометрия
5. На шахматной доске лежит квадрат, площадь которого вдвое больше, чем площадь одной клетки, а стороны параллельны диагоналям клеток. Какую долю от площади квадрата может составлять та его часть, которая окрашена в чёрный цвет? ( А. А. Теслер) Ответ: Половину. Решение. Заметим, что если вершины квадрата совпадают с узлами шахматной сетки, то площадь чёрной части, очевидно, составляет половину площади квадрата. Если же квадрат расположен произвольным образом (обозначим его 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′), то его можно получить параллельным переносом из некоторого квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершинами в узлах сетки. Докажем, что чёрная площадь в этих квадратах одинакова. Не умаляя общности, пусть точка 𝐴′ лежит внутри или на границе угла 𝐵𝐴𝐶. Если обозначить через 𝑆 (𝐹) площадь чёрного цвета в фигуре 𝐹, b то 𝑆 b (𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) +𝑆 b (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) +𝑆 b (𝐴𝐴′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐴𝐵𝐵′𝐶′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐴𝐵𝐶𝐷) +𝑆 b (𝐷𝐷′𝐶′𝐶) +𝑆 b (𝐵𝐵′𝐶′𝐶), 27 где часть параллелограммов может быть вырожденна. Остаётся заметить, что 𝑆 b (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) = 𝑆 b (𝐷𝐷′𝐶′𝐶) и 𝑆 b (𝐴𝐴′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐵𝐵′𝐶′𝐶), так как эти параллелограммы получены друг из друга параллельным перено- −−→ −→ сом на векторы 𝐴𝐷 и 𝐴𝐵 соответственно, а такие переносы сохраняют раскраску точек. Примечание. Возможно также рассуждение следующего рода. «Размножим» квадрат𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ по обоим измерениям до бесконечности (и шахматную раскраску тоже). Тогда все копии квадрата раскрашены одинаково, поскольку получены параллельными переносами, сохраняющими раскраску. Поэтому доля чёрного цвета во всех копиях одинакова. Но если взять достаточно большую квадратную область, составленную из копий квадрата 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′, то почти вся она (кроме некоторой части вдоль границ, доля которой стремится к нулю при увеличении размера области) делится на доминошки, поэтому доля чёрного цвета в ней не может сильно отличаться от 1/2. Подобные соображения, использующие стремление к бесконечности, называют асимптотическими. Однако их формализация требует знакомства с основами математического анализа. Критерии. Недостаточночёткоформализованыасимптотическиесоображения(илисоображение,что доля чёрного цвета сохраняется при параллельном переносе квадрата) — штраф не более 2 баллов. Если считать, что квадрат может вылезать за пределы исходной доски, то ответ будет «от 0 до 1/2», но решение полностью аналогично. За такое понимание условия баллы не снимаются.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. На шахматной доске лежит квадрат, площадь которого вдвое больше, чем площадь одной
клетки, а стороны параллельны диагоналям клеток. Какую долю от площади квадрата может
составлять та его часть, которая окрашена в чёрный цвет? ( А. А. Теслер)
Ответ: Половину.
Решение. Заметим, что если вершины квадрата совпадают с узлами шахматной сетки, то
площадь чёрной части, очевидно, составляет половину площади квадрата. Если же квадрат
расположен произвольным образом (обозначим его 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′), то его можно получить парал-
лельным переносом из некоторого квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершинами в узлах сетки. Докажем, что
чёрная площадь в этих квадратах одинакова. Не умаляя общности, пусть точка 𝐴′ лежит внут-
ри или на границе угла 𝐵𝐴𝐶. Если обозначить через 𝑆 (𝐹) площадь чёрного цвета в фигуре 𝐹,
b
то
𝑆 b (𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) +𝑆 b (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) +𝑆 b (𝐴𝐴′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐴𝐵𝐵′𝐶′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐴𝐵𝐶𝐷) +𝑆 b (𝐷𝐷′𝐶′𝐶) +𝑆 b (𝐵𝐵′𝐶′𝐶),
27
где часть параллелограммов может быть вырожденна. Остаётся заме-
тить, что 𝑆 b (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) = 𝑆 b (𝐷𝐷′𝐶′𝐶) и 𝑆 b (𝐴𝐴′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐵𝐵′𝐶′𝐶), так как
эти параллелограммы получены друг из друга параллельным перено-
−−→ −→
сом на векторы 𝐴𝐷 и 𝐴𝐵 соответственно, а такие переносы сохраняют
раскраску точек.
Примечание. Возможно также рассуждение следующего рода. «Размножим» квадрат𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ по обо-
им измерениям до бесконечности (и шахматную раскраску тоже). Тогда все копии квадрата раскраше-
ны одинаково, поскольку получены параллельными переносами, сохраняющими раскраску. Поэтому
доля чёрного цвета во всех копиях одинакова. Но если взять достаточно большую квадратную область,
составленную из копий квадрата 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′, то почти вся она (кроме некоторой части вдоль границ, до-
ля которой стремится к нулю при увеличении размера области) делится на доминошки, поэтому доля
чёрного цвета в ней не может сильно отличаться от 1/2. Подобные соображения, использующие стрем-
ление к бесконечности, называют асимптотическими. Однако их формализация требует знакомства с
основами математического анализа.
Критерии. Недостаточночёткоформализованыасимптотическиесоображения(илисоображение,что
доля чёрного цвета сохраняется при параллельном переносе квадрата) — штраф не более 2 баллов.
Если считать, что квадрат может вылезать за пределы исходной доски, то ответ будет «от 0 до 1/2», но
решение полностью аналогично. За такое понимание условия баллы не снимаются.
Используемые формулы
𝑆 b (𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′) +𝑆 b (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) +𝑆 b (𝐴𝐴′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐴𝐵𝐵′𝐶′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐴𝐵𝐶𝐷) +𝑆 b (𝐷𝐷′𝐶′𝐶) +𝑆 b (𝐵𝐵′𝐶′𝐶),тить, что 𝑆 b (𝐴𝐴′𝐵′𝐵) = 𝑆 b (𝐷𝐷′𝐶′𝐶) и 𝑆 b (𝐴𝐴′𝐷′𝐷) = 𝑆 b (𝐵𝐵′𝐶′𝐶), так как
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.