ОММО 2014 — Математика
35 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены равны 1 2 n x + x + x между собой. Для всех n ‡ 3 выполняется равенство x = n n- 1 n- 2 . Найди…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены 1 2 n равны между собой. Для всех n ‡ 2 сумма x + x вдвое больше числа x . Найдите n+1 n- 1 n x…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены равны 1 2 n между собой. Для всех n ‡ 2 выполняется равенство x + x + x x = n- 1 n n+ 1 . n 3 x…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых сорока пяти из них больше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел больше единицы.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых сорока из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати из них больше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел больше единицы.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати пяти из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Натуральное 57-значное число А записывается только цифрами 3, 4 и 5. При этом троек на 11 больше, чем пятерок. Найдите остаток от деления числа А на 9.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Натуральное 67-значное число А записывается только цифрами 2, 3 и 4. При этом двоек на 22 больше, чем четверок. Найдите остаток от деления числа А на 9.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Натуральное 59-значное число А записывается только цифрами 3, 4 и 5. При этом пятерок на 8 больше, чем троек. Найдите остаток от деления числа А на 9.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Натуральное 61-значное число А записывается только цифрами 2, 3 и 4. При этом двоек на 19 больше, чем четверок. Найдите остаток от деления числа А на 9.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE . Точки M, N,P и Q – середины сторон AB,BC, CD и DE соответственно, точки H и K – середины MP и NQ соответственно. Найдите длину отрезка A…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE . Точки M, N,P и Q – середины сторон AB,BC, CD и DE соответственно, точки H и K – середины MP и NQ соответственно. Найдите длину отрезка H…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE . Точки M, N,P и Q – середины сторон AB,BC, CD и DE соответственно, точки H и K – середины MP и NQ соответственно. Найдите длину отрезка A…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE . Точки M, N,P и Q – середины сторон AB,BC, CD и DE соответственно, точки H и K – середины MP и NQ соответственно. Найдите длину отрезка H…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задача 5. Найдите все решения уравнения ( ) ( ) 4y2 x4 + 2x2 +8y2 + x4 + 2x2 = 8 y x2 +1 - 2 .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №5. Задача 5. Найдите все решения уравнения ( y ( x - 1 ))2+ ( x- 1+)2 +y2 - 1 4- y =x 1 0 .
Задача 5. Найдите все решения уравнения ( y ( x - 1 ))2+ ( x- 1+)2 +y2 - 1 4- y =x 1 0 .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задача 5. Найдите все решения уравнения ( ) 4y2 x4 + 2x2 +8y2 + x4 + 2x2 = 8| y | (x2 +1) - 2.…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №5. Задача 5. Найдите все решения уравнения ( y ( x - 1 ))2+ ( x- 1+)2 +y2 - 1 4- y =x 1 0 .
Задача 5. Найдите все решения уравнения ( y ( x - 1 ))2+ ( x- 1+)2 +y2 - 1 4- y =x 1 0 .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Задача 6. Найдите все периодические функции y = f ( x ) , удовлетворяющие уравнению f ( x )- 2 f ( xπ=) cos x при всех x .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Задача 6. Найдите все периодические функции y = f ( x ) , удовлетворяющие уравнению f ( x )- 0,4 f ( xπ=) sin x при всех x .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Задача 6. Найдите все периодические функции y = f ( x ) , удовлетворяющие уравнению f ( x )- 3f ( xπ=) cos x при всех x .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Задача 6. Найдите все периодические функции y = f ( x ) , удовлетворяющие уравнению f ( x )- 0,5 f ( xπ=) sin x при всех x .…
ОММО 2014 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ln x = ax имеет три решения.…
ОММО 2014 · Олимпиадный