Задание №176208: ОММО 2014
Задача 3. Натуральное 57-значное число А записывается только цифрами 3, 4 и 5. При этом троек на 11 больше, чем пятерок. Найдите остаток от деления числа А на 9.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 10. Сумма площадей поверхностей многогранни-
ков, на которые разбивается параллелепипед сечениями,
равна сумме площади поверхности параллелепипеда и
площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей
внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площа-
дей сечений.
Найдем наибольшую возможную площадь сече-
ния, проходящего через диагональ XY произвольного
параллелепипеда с ребрами a ≤ b ≤ c . Сечением является параллелограмм ZXTY , вершины
которого лежат на противоположных ребрах параллелепипеда. Площадь параллелограмма
равна произведению длины диагонали XY на расстояние от точки Z до XY .
Рассмотрим проекцию параллелепипеда на
плоскость, перпендикулярную диагонали XY . На ри-
сунке видно, что расстояние от точки Z ломаной
ABC до точки Y , то есть до диагонали XY ,
наибольшее, если Z совпадает с одной из вершин
A,B или С .
Значит, сечение проходит через одно из ребер
параллелепипеда. Таким образом, наибольшую пло-
щадь имеет одно из диагональных сечений. Все эти
сечения являются прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площадей
S = a b2 +c2 , S = b a2 +c2 и S = c b2 +a2 .
1 2 3
Из условия a ≤ b ≤ c следует, что,
a2b2 +≤a+2c2 c2b2 a2c2, и a2b2 +≤c+2b2 c2b2 a2c2.
Поэтому S ≤ S и S ≤ S . Значит, наибольшую пло-
1 3 2 3
щадь имеет сечение, проходящее через наибольшее
ребро.
По условию наибольшую длину имеет ребро
AD , значит, наибольшую площадь, равную
5 82 +62 =150, имеют сечения A DCB и B СDA .
1 1 1 1
Сумма площадей поверхностей многогранников, на
которые разбивается параллелепипед этими сечения-
ми (см. рисунок), равна
2(AA ⋅+A⋅B+⋅ ⋅A+=A AD AB AD) 4 150 1116.
1 1
Ответ: 1116.
Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo 4
Используемые формулы
S = a b2 +c2 , S = b a2 +c2 и S = c b2 +a2 .5 82 +62 =150, имеют сечения A DCB и B СDA .2(AA ⋅+A⋅B+⋅ ⋅A+=A AD AB AD) 4 150 1116.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.