Задание №176211: ОММО 2014
Задача 6. Найдите все периодические функции y = f ( x ) , удовлетворяющие уравнению f ( x )- 2 f ( xπ=) cos x при всех x .
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 3. Пусть число N записано цифрами a ,a ,...,a ,a , то есть
n n−1 1 0
N =⋅a+ 1⋅0n+ a+⋅+ 10n−1 ... a 10 a .
n n−1 1 0
Вычтем из числа N сумму его цифр:
N −+(a a+ +... =a )− + (10−n 1+ )a + (10n−1 1)a ... 9a .
n n−1 0 n n−1 1
Числа вида 10k −1 делятся на 9. Значит, число N −+(a a+ + ... a )делится на 9. Следова-
n n−1 0
тельно, при делении на 9 каждое число дает тот же остаток, что и сумма его цифр.
Пусть в записи числа A встречается n пятерок. Тогда троек там n +11, а все остав-
шиеся цифры – четверки. Сумма цифр равна
5⋅+n⋅ +3 (n+⋅11) −4 (−57 =2n +11)+ 8n− =33 184 8n 217.
В свою очередь, сумма цифр числа 217 равна 10. Остаток от деления 10 на 9 равен 1.
Такой же остаток от деления на 9 имеет число 217 и, следовательно, число A.
Ответ: 1.
Используемые формулы
N =⋅a+ 1⋅0n+ a+⋅+ 10n−1 ...=a )− + (10−n 1+ )a + (10n−1 1)a ...5⋅+n⋅ +3 (n+⋅11) −4 (−57 =2n +11)+ 8n− =33 184 8n 217.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.