Задание №176206: ОММО 2014
Задача 1. В бесконечной числовой последовательности x , x , ..., x ,... не все члены равны 1 2 n x + x + x между собой. Для всех n ‡ 3 выполняется равенство x = n n- 1 n- 2 . Найдите значение n- 1 3 x - x выражения 300 33 . x - x 333 3
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. Сделаем замену t = x +1. Получаем уравнение ln t = at, которое также
должно иметь три решения. Левая часть неотрицательна. Следовательно, at ≥ 0. При a = 0
уравнение имеет два корня −1 и 1. Значит, a = 0 не удовлетворяет условию.
Рассмотрим случай a > 0. Тогда t ≥ 0 и поэтому t = t . Построим график функции
y = lnt . Прямая y = at должна пересекать этот график в трех точках. На рисунке видно, что
это выполняется тогда и только тогда, когда прямая проходит внутри угла, образованного
осью абсцисс и касательной y = a t к графику функции y = lnt при t >1.
0
1
Найдем a . Абсцисса точки касания удовлетворяет условиям a t = lnt и a = , отку-
0 0 0 t
1 1 1
да a = , t = e . Таким образом, 0 < a < . Случай a < 0 симметричен, то есть −< <a 0.
0 e е e
1 1
Ответ. −< <a 0,<0 <a .
e e
Используемые формулы
Сделаем замену t = x +1.Получаем уравнение ln t = at, которое такжеПри a = 0Значит, a = 0 не удовлетворяет условию.Тогда t ≥ 0 и поэтому t = t .y = lnt .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.