Задание №176187: ОММО 2014
Задача 2. Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати из них больше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел больше единицы.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 10. Сумма площадей поверхностей многогранни-
ков, на которые разбивается параллелепипед сечениями,
равна сумме площади поверхности параллелепипеда и
площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей
внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площа-
дей сечений.
Найдем наибольшую возможную площадь сече-
ния, проходящего через диагональ XY произвольного
параллелепипеда с ребрами a ≤ b ≤ c . Сечением является
параллелограмм ZXTY , вершины которого лежат на про-
тивоположных рёб-
рах параллелепипеда.
Площадь параллело-
грамма равна произведению длины диагонали XY на
расстояние от точки Z до XY .
Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плос-
кость, перпендикулярную диагонали XY . На рисунке
видно, что расстояние от точки Z ломаной ABC до
точки Y , то есть до диагонали XY , наибольшее, если
Z совпадает с одной из вершин A,B или С .
Значит, сечение проходит через одно из ребер па-
раллелепипеда. Таким образом, наибольшую площадь име-
ет одно из диагональных сечений. Все эти сечения являют-
ся прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площа-
дей
S = a b2 +c2 , S = b a2 +c2 и S = c b2 +a2 .
1 2 3
Из условия a ≤ b ≤ c следует, что,
a2b2 +≤a+2c2 c2b2 a2c2, и a2b2 +≤c+2b2 c2b2 a2c2. Поэтому
S ≤ S и S ≤ S . Значит, наибольшую площадь имеет се-
1 3 2 3
чение, проходящее через наибольшее ребро. По условию
наибольшую длину имеет ребро AA , значит, наибольшую
1
площадь 5 42 +32 = 25 имеют сечения AAC C и BB D D.
1 1 1 1
Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед
этими сечениями (см. рисунок), равна
2(AA ⋅+A⋅B+⋅ =⋅+AA AD AB AD) 4 25 194.
1 1
Ответ: 194.
Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo 4
Используемые формулы
S = a b2 +c2 , S = b a2 +c2 и S = c b2 +a2 .площадь 5 42 +32 = 25 имеют сечения AAC C и BB D D.2(AA ⋅+A⋅B+⋅ =⋅+AA AD AB AD) 4 25 194.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.