Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаОММО 2023Олимпиадный

Задание №176544: ОММО 2023

Условие

Задача 1. Точка R — середина отрезка ST; точка R — середина отрезка SR ; для 1 2 1 каждого n ⩾ 3 точка R — середина отрезка R R . Пусть R — предельное положение n n−2 n−1 точки R при n → ∞. Найдите длину отрезка RT, если длина отрезка ST равна 15. n

📎 ommo2023-var.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «ОММО 2023» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2023

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Год материала
2023
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаОММО 2023ОММО 2023 · тип 1анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «ОММО 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

5. (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ 2 a = x , (cid:242)(cid:238) a = 2− 5.
3 3 − M 3 √
(cid:210)(cid:224)ŒŁ(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236), (cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:230)(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238) [2− 5,1).
3
˙(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) 7. ˜(cid:224)(cid:237)(cid:238) (cid:228)(cid:229)Øæ(cid:242)(cid:226)Ł(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:247)Łæº(cid:238) s, (cid:238)(cid:242)ºŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:238)(cid:242) 0, 1, 1, 1 Ł 2. —(cid:229)łŁ(cid:242)(cid:229) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229)
− 2
x2(x 1)2 s2(s 1)2
− = − .
(x2 x + 1)3 (s2 s + 1)3
− −
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:242) (cid:231)(cid:224)(cid:226)Łæ(cid:229)(cid:242)(cid:252) (cid:238)(cid:242) s.
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242): s, 1, 1 s, 1 , s , s−1.
s − 1−s s−1 s
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236) (cid:228)(cid:226)(cid:224) (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255):
(cid:229)æºŁ x (cid:22) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255), (cid:242)(cid:238) Ł 1 x (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229); (cid:228)(cid:229)Øæ(cid:242)(cid:226)Ł(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238),
0 0
• −
(1 x )2((1 x ) 1)2 x2(x 1)2
− 0 − 0 − = 0 0 − ,
((1 x )2 (1 x ) + 1)3 (x2 x + 1)3
0 0 0 0
− − − −
s2(s−1)2
(cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:229)æºŁ (cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) , (cid:242)(cid:238) Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:226)(cid:238)(cid:229) (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229).
(s2−s+1)3
(cid:229)æºŁ x (cid:22) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255), (cid:242)(cid:238) Ł 1 (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229); (cid:228)(cid:229)Øæ(cid:242)(cid:226)Ł(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238),
• 0 x0
(1/x )2((1/x ) 1)2 x2(x 1)2
0 0 − = 0 0 − ,
((1/x )2 (1/x ) + 1)3 (x2 x + 1)3
0 0 0 0
− −
s2(s−1)2
(cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:229)æºŁ (cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) , (cid:242)(cid:238) Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:226)(cid:238)(cid:229) (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229).
(s2−s+1)3
˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236) (cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:252), (cid:247)(cid:242)(cid:238) s (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:237)(cid:238) Œ(cid:238)(cid:240)(cid:229)(cid:237)(cid:252) Łæı(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255). (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224), Œ(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:255)(cid:236)Ł (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) (cid:247)Łæº(cid:224)
1/s, 1 s, (cid:224) (cid:242)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) Ł 1 , 1 1 = s , 1 1 = s−1.
− 1−s − 1−s s−1 − s s
25

˛(cid:204)(cid:204)˛ 05.02.2023 (cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)ß Ł Œ(cid:240)(cid:224)(cid:242)ŒŁ(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) ´(cid:224)(cid:240)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:242) IV


(cid:204)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:242)(cid:252), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:228)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255)ı (cid:237)(cid:224) s (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)Ł(cid:226)łŁ(cid:229)æ(cid:255) 6 (cid:247)Łæ(cid:229)º (cid:22) (cid:240)(cid:224)(cid:231)ºŁ(cid:247)(cid:237)ß. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229)
(cid:242)(cid:238)ª(cid:238), Łæı(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:239)(cid:240)Ł x = 0, x = 1 (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)æŁº(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:254) 6-Ø æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł, Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:229) (cid:237)(cid:229) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:242)
(cid:54) (cid:54)
Ł(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:252) Æ(cid:238)º(cid:252)ł(cid:229) 6 Œ(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:229)Ø. ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:237)(cid:224)Ø(cid:228)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) (cid:247)Łæº(cid:224) Ł (cid:229)æ(cid:242)(cid:252) (cid:226)æ(cid:229) Œ(cid:238)(cid:240)(cid:237)Ł.
˚(cid:238)(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:224)(cid:240)ŁØ. ˇ(cid:238) æ(cid:243)(cid:242)Ł (cid:236)ß (cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)ºŁ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł x = 0, x = 1 Łæı(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)æŁº(cid:252)(cid:237)(cid:238)
(cid:54) (cid:54)
(cid:243)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:254)
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
1 1 s s 1
(x s)(x (1 s)) x x x x − = 0,
− − − − s − 1 s − s 1 − s
− −
(cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:243)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ß(cid:229) (cid:247)Łæº(cid:224) (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226)æ(cid:229)(cid:236)Ł Œ(cid:238)(cid:240)(cid:237)(cid:255)(cid:236)Ł Ł (cid:239)(cid:240)Ł (cid:238)(cid:242)æ(cid:242)(cid:243)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)ŁŁ (cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)(cid:237)ŁØ (cid:237)(cid:224) s.
˚(cid:238)(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:224)(cid:240)ŁØ. (cid:192)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:230)(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238) (cid:226)æ(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:247)(cid:224)º(cid:238)æ(cid:252) (cid:226) ˛(cid:204)(cid:204)˛(cid:21)2022, (cid:226) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:229) 10.
˙(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) 8. ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ A , B , C (cid:22) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) BC, CA, AB, (cid:224) A , B , C (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)-
0 0 0 1 1 1
ŒŁ Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:253)(cid:242)Łı æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) æ(cid:238) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254) æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238). ˇ(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) A C , B C (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)
1 1 1 1
A B (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı X Ł Y . ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠XC Y = ∠XCY .
0 0 1
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ X, Y º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224)ı (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) A, B æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238).
(cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ AB = AC Ł B Y AC , (cid:242)(cid:238) B Y = B B = |AB−BC| , æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), A Y = A B Ł
∠Y BA = ∠BY 1 A = ∠ 1 Y BA. 0 (cid:192)(cid:237)(cid:224) (cid:107) º(cid:238)ªŁ 1 (cid:247)(cid:237)(cid:238) ∠X 0 AC = ∠ 0 XA 1 B. 2 0 0
0 0
˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ, æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)ß(cid:229) C (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) X Ł Y , º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) AB, (cid:242)(cid:238) ∠CY B =
∠CXA = 90◦, (cid:242).(cid:229). CXC Y (cid:22) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236). ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), ∠XC Y = ∠XCY .
1 1
˚(cid:238)(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:224)(cid:240)ŁØ. ˜º(cid:255) (cid:228)(cid:238)Œ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)æ(cid:242)(cid:226)(cid:224), (cid:247)(cid:242)(cid:238) X Ł Y º(cid:229)(cid:230)(cid:224)(cid:242) (cid:237)(cid:224) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224)ı (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) A Ł B æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)
(cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:243) æ(cid:238)æº(cid:224)(cid:242)(cid:252)æ(cid:255) (cid:237)(cid:224) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:254)ø(cid:229)(cid:229) (cid:243)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:228)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229).
´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:254)øŁ(cid:229) (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229):
ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224) (cid:243)ªº(cid:224) A,
•
(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240) Ł(cid:231) (cid:226)(cid:229)(cid:240)łŁ(cid:237)ß B (cid:237)(cid:224) (cid:253)(cid:242)(cid:243) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:243),
•
(cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255), æ(cid:238)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:255)(cid:254)ø(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC æ(cid:238)
•
æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)(cid:236)Ł AC Ł BC,
æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:255)(cid:255) ºŁ(cid:237)Ł(cid:255), (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:229) AC.
•
(cid:215)(cid:224)ø(cid:229) (cid:226)æ(cid:229)ª(cid:238) (cid:229)ª(cid:238) (cid:243)(cid:239)(cid:238)(cid:236)Ł(cid:237)(cid:224)(cid:254)(cid:242) (cid:239)(cid:238)(cid:228) (cid:237)(cid:224)(cid:231)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:229)(cid:236) (cid:190)(cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) 255¿. (cid:221)(cid:242)(cid:238) Ł (cid:226)(cid:239)(cid:240)(cid:224)(cid:228)(cid:243) (cid:239)(cid:238)(cid:247)(cid:242)Ł (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) (cid:237)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:240) 255
Ł(cid:231) Œ(cid:237)ŁªŁ ¨.(cid:212). (cid:216)(cid:224)(cid:240)ߪŁ(cid:237)(cid:224) (cid:190)ˆ(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:255): 9(cid:21)11 Œº.: ˛(cid:242) (cid:243)(cid:247)(cid:229)Æ(cid:237)(cid:238)Ø (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł Œ (cid:242)(cid:226)(cid:238)(cid:240)(cid:247)(cid:229)æŒ(cid:238)Ø¿. ˝(cid:229) æ(cid:242)(cid:238)Ł(cid:242) (cid:243)(cid:247)Ł(cid:242)(cid:252)
(cid:237)(cid:224)Ł(cid:231)(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) (cid:237)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:240)(cid:224) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247) Ł(cid:231) (cid:253)(cid:242)(cid:238)ª(cid:238) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:237)ŁŒ(cid:224). ˇ(cid:238)(cid:239)(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) Ł(cid:236)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:238)(cid:237)(cid:255)(cid:242)(cid:252) Ł(cid:231)
(cid:239)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Łæº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) (cid:224)(cid:226)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:224) ((cid:224) (cid:231)(cid:224)(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238) Ł (cid:243)Æ(cid:229)(cid:228)Ł(cid:242)(cid:252)æ(cid:255) (cid:226) (cid:229)ª(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:238)(cid:242)(cid:229)):
P.S. (cid:192) (cid:226)æ(cid:229) (cid:230)(cid:229), (cid:238)(cid:242)Œ(cid:243)(cid:228)(cid:224) Æ(cid:229)(cid:240)(cid:243)(cid:242)æ(cid:255) ª(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)Ł? ˛ÆøŁØ Ł (cid:239)(cid:238)º(cid:237)ßØ (cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242) (cid:231)(cid:228)(cid:229)æ(cid:252) (cid:226)(cid:240)(cid:255)(cid:228)
ºŁ (cid:226)(cid:238)(cid:231)(cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:237). (cid:192) (cid:226) (cid:247)(cid:224)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł... ´ (cid:247)(cid:224)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:238)(cid:247)(cid:229)(cid:237)(cid:252) (cid:236)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:237)(cid:238)(cid:226)ßı (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247) æ(cid:238)(cid:228)(cid:229)(cid:240)(cid:230)Ł(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø
Œ(cid:237)Łª(cid:229). ˝(cid:224)(cid:228)(cid:238) (cid:242)(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:238) æ(cid:243)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:252) Łı Ł(cid:231)(cid:226)º(cid:229)(cid:247)(cid:252). ˝(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:240)(cid:237)(cid:238)(cid:229), Œ(cid:224)(cid:230)(cid:228)(cid:224)(cid:255) æ(cid:238)(cid:228)(cid:229)(cid:240)(cid:230)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:224)(cid:255) ª(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒ(cid:224)(cid:255)
(cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:242) Æß(cid:242)(cid:252) Łæ(cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:236) (cid:246)(cid:229)º(cid:238)ª(cid:238) (cid:240)(cid:255)(cid:228)(cid:224) (cid:237)(cid:238)(cid:226)ßı. ˜º(cid:255) (cid:253)(cid:242)(cid:238)ª(cid:238) (cid:237)(cid:224)(cid:228)(cid:238) æ (cid:237)(cid:229)Ø (cid:190)(cid:239)(cid:238)(cid:226)(cid:238)(cid:231)Ł(cid:242)(cid:252)æ(cid:255)¿,
(cid:239)(cid:238)æ(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:242)(cid:252) æ (cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:237)ßı æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237), (cid:239)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:238)Æ(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:252) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:244)(cid:240)(cid:224)(cid:231)Ł(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:252), (cid:238)Æ(cid:238)ÆøŁ(cid:242)(cid:252). ´ (cid:240)(cid:229)(cid:231)(cid:243)º(cid:252)(cid:242)(cid:224)(cid:242)(cid:229) (cid:243)(cid:228)Ł-
(cid:226)Ł(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)ß(cid:236) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:238)(cid:236) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:229)(cid:242) (cid:226)(cid:238)(cid:231)(cid:237)ŁŒ(cid:237)(cid:243)(cid:242)(cid:252) æ(cid:238)(cid:226)(cid:229)(cid:240)ł(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238) (cid:237)(cid:229) (cid:239)(cid:238)ı(cid:238)(cid:230)(cid:224)(cid:255) (cid:237)(cid:224) (cid:190)(cid:240)(cid:238)(cid:228)Ł(cid:242)(cid:229)º(cid:255)¿ (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224).
˝(cid:224)(cid:239)(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:240), (cid:226)(cid:238)(cid:231)(cid:252)(cid:236)…(cid:236) (cid:242)(cid:243) (cid:230)(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:243) (cid:157) 255...
˙(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) 9. ˝(cid:224)Ø(cid:228)Ł(cid:242)(cid:229) (cid:226)æ(cid:229) (cid:244)(cid:243)(cid:237)Œ(cid:246)ŁŁ f : R R, (cid:228)º(cid:255) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ßı æ(cid:243)ø(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:243)(cid:229)(cid:242) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:238)(cid:229) (cid:226)(cid:229)ø(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238)(cid:229) (cid:247)Łæº(cid:238) a,
→
(cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:226)æ(cid:229)ı (cid:226)(cid:229)ø(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)ßı x, y (cid:226)ß(cid:239)(cid:238)º(cid:237)(cid:229)(cid:237)(cid:238) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238)
f(2xy + 1) = f(x)f(y) f(x) 2y + a.
− −
˛(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242): f(x) = 2x + 1.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˙(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238)
f(x)f(y) f(x) 2y + a = f(2xy + 1) = f(2yx + 1) = f(y)f(x) f(y) 2x + a.
− − − −


26

˛(cid:204)(cid:204)˛ 05.02.2023 (cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)ß Ł Œ(cid:240)(cid:224)(cid:242)ŒŁ(cid:229) (cid:240)(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) ´(cid:224)(cid:240)Ł(cid:224)(cid:237)(cid:242) IV


˛(cid:242)æ(cid:254)(cid:228)(cid:224) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:226)æ(cid:229)ı x,y R (cid:226)ß(cid:239)(cid:238)º(cid:237)(cid:229)(cid:237)(cid:238) f(x) 2x = f(y) 2y. ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), (cid:240)(cid:224)(cid:231)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) f(x) 2x
(cid:239)(cid:238)æ(cid:242)(cid:238)(cid:255)(cid:237)(cid:237)(cid:224) Ł f(x) = 2x+C,C R. ˇ ∈ (cid:238)(cid:228)æ(cid:242)(cid:224)(cid:226)º(cid:255)(cid:255) (cid:226) Łæı(cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238) − (cid:229) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238) − , (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)(cid:224)(cid:229)(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)Ł (cid:226)æ(cid:229)ı x,y − R
∈ ∈
(cid:226)ß(cid:239)(cid:238)º(cid:237)(cid:229)(cid:237)(cid:238) (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:229)(cid:237)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238):
4xy + 2 + C = 4xy + 2Cx + 2Cy + C2 2x C 2y + a.
− − −
˛(cid:237)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:228)(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238) (cid:226)ß(cid:239)(cid:238)º(cid:237)(cid:229)(cid:237)(cid:238) ºŁł(cid:252) (cid:239)(cid:240)Ł C = 1; (cid:239)(cid:240)Ł (cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236) a = 3.
˙(cid:224)(cid:228)(cid:224)(cid:247)(cid:224) 10. ´ æ(cid:242)(cid:240)(cid:224)(cid:237)(cid:229) 20 ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)(cid:226), (cid:236)(cid:229)(cid:230)(cid:228)(cid:243) (cid:237)(cid:229)Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:236)Ł Ł(cid:231) (cid:237)Łı Ł(cid:236)(cid:229)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:228)(cid:226)(cid:243)æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:237)Ł(cid:229) Æ(cid:229)æ(cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:224)(cid:228)(cid:238)(cid:247)(cid:237)ß(cid:229)

(cid:224)(cid:226)Ł(cid:224)ºŁ(cid:237)ŁŁ. ¨(cid:231)(cid:226)(cid:229)æ(cid:242)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) Ł(cid:231) Œ(cid:224)Œ(cid:238)ª(cid:238)-(cid:242)(cid:238) ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:224) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:243)º(cid:229)(cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:252) (cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:226) 1 (cid:228)(cid:240)(cid:243)ª(cid:238)Ø ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228), Ł(cid:231) Œ(cid:224)Œ(cid:238)ª(cid:238)-(cid:242)(cid:238)
(cid:22) (cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:226) 2, ..., Ł(cid:231) Œ(cid:224)Œ(cid:238)ª(cid:238)-(cid:242)(cid:238) (cid:22) (cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:237)(cid:238) (cid:226) 14. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) æ(cid:243)ø(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:243)(cid:254)(cid:242) (cid:242)(cid:224)ŒŁ(cid:229) (cid:242)(cid:240)Ł ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:224), (cid:247)(cid:242)(cid:238) Ł(cid:231)
Œ(cid:224)(cid:230)(cid:228)(cid:238)ª(cid:238) Ł(cid:231) (cid:237)Łı (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:243)º(cid:229)(cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:252) (cid:226) Œ(cid:224)(cid:230)(cid:228)ßØ Ł(cid:231) (cid:228)(cid:226)(cid:243)ı (cid:238)æ(cid:242)(cid:224)(cid:226)łŁıæ(cid:255).
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˇ(cid:238)æ(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:236) (cid:237)(cid:224) ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228) A, Ł(cid:231) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)ª(cid:238) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:243)º(cid:229)(cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:252) (cid:226) 14 ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)(cid:226). ¨(cid:231) (cid:237)Łı (cid:236)(cid:224)ŒæŁ(cid:236)(cid:243)(cid:236) 6 (cid:22)
ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:224), (cid:239)(cid:240)(cid:238) Œ(cid:238)ºŁ(cid:247)(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238) (cid:224)(cid:226)Ł(cid:224)ºŁ(cid:237)ŁØ Ł(cid:231) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ßı (cid:226) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)ŁŁ (cid:237)Ł(cid:247)(cid:229)ª(cid:238) (cid:237)(cid:229) æŒ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:237)(cid:238). ˛æ(cid:242)(cid:224)º(cid:238)æ(cid:252) Œ(cid:224)Œ (cid:236)Ł(cid:237)Ł(cid:236)(cid:243)(cid:236) 8
ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)(cid:226), (cid:239)(cid:240)(cid:238) Œ(cid:238)ºŁ(cid:247)(cid:229)æ(cid:242)(cid:226)(cid:238) (cid:224)(cid:226)Ł(cid:224)ºŁ(cid:237)ŁØ Ł(cid:231) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ßı æŒ(cid:224)(cid:231)(cid:224)(cid:237)(cid:238) (cid:226) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)ŁŁ. (cid:209)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł (cid:237)Łı (cid:242)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) (cid:237)(cid:224)Ø(cid:228)…(cid:242)æ(cid:255) ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)
B, Ł(cid:231) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)ª(cid:238) (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:243)º(cid:229)(cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:252) ı(cid:238)(cid:242)(cid:255) Æß (cid:226) 8 ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)(cid:226).

¨(cid:231) A, Œ(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) B, (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:243)º(cid:229)(cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:252) (cid:229)ø… (cid:226) 13 ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)(cid:226), (cid:224) Ł(cid:231) B, Œ(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) A (cid:22) (cid:229)ø… (cid:226) 7. ˇ(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) 13 + 7 =
20 > 18, (cid:242)(cid:238) (cid:228)º(cid:255) A Ł B (cid:229)æ(cid:242)(cid:252) ı(cid:238)(cid:242)(cid:255) Æß (cid:238)(cid:228)Ł(cid:237) (cid:238)ÆøŁØ ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228) C, (cid:226) Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ßØ (cid:236)(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:238) (cid:243)º(cid:229)(cid:242)(cid:229)(cid:242)(cid:252). (cid:210)(cid:240)(cid:238)ØŒ(cid:224) A, B, C
Ł (cid:229)æ(cid:242)(cid:252) ŁæŒ(cid:238)(cid:236)(cid:224)(cid:255) (cid:242)(cid:240)(cid:238)ØŒ(cid:224) ª(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:228)(cid:238)(cid:226).









































27

Используемые формулы

  • (cid:210)(cid:224)Œ Œ(cid:224)Œ 2 a = x , (cid:242)(cid:238) a = 2− 5.
  • 3 3 − M 3 √
  • − = − .
  • − 0 − 0 − = 0 0 − ,
  • 0 0 − = 0 0 − ,
  • 1/s, 1 s, (cid:224) (cid:242)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224) Ł 1 , 1 1 = s , 1 1 = s−1.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: