Задание №176624: ОММО 2025
Задача 1. Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2025 в ряд так, что для любого k = 1,2,...,2025 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 1. Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 2025 в ряд так, что для любого
k = 1,2,...,2025 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?
Ответ: Подходит расстановка
1013 1 1014 2 1015 3 ... k + 1012 k ... 2024 1012 2025
a 2k−1 a 2k a2025
Решение. В ряду a ,...,a обозначим через S сумму начального отрезка ряда: S = a +
1 2025 i i 1
a + ...a .
2 i
Заметим, что S = 1 · 2025 · 2026 = 2025 · 1013 — кратно a = 2025.
2025 2 2025
Далее, для k (cid:54) 1012 рассмотрим два случая.
Для отрезков чётной длины 2k последнее число равно a = k и сумма
2k
S = (1012 + 1 + 1) + (1012 + 2 + 2) + ... + (1012 + k + k) =
2k
= 1012k + 2 · (1 + 2 + ... + k) =
= 1012k + k(k + 1) =
= k(1013 + k)
— кратна a = k.
2k
Для отрезков нечётной длины 2k − 1 последнее число равно a = 1012 + k и
2k−1
S = S − a = k(1013 + k) − k = k(1012 + k)
2k−1 2k 2k
— кратно a = 1012 + k.
2k−1
Используемые формулы
k = 1,2,...,2025 сумма первых k чисел в этом ряду нацело делится на k-е число в ряду?В ряду a ,...,a обозначим через S сумму начального отрезка ряда: S = a +Заметим, что S = 1 · 2025 · 2026 = 2025 · 1013 — кратно a = 2025.Для отрезков чётной длины 2k последнее число равно a = k и суммаS = (1012 + 1 + 1) + (1012 + 2 + 2) + ...+ (1012 + k + k) =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.