Задание 5 Олимпиада по математике
181 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №5 · Математика · Олимпиада
5. Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k 8 больше 30◦. Каково наибольшее возможное значение k? Наири Седракян…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Петя расставляет 500 королей на клетках доски 100 × 50 так, чтобы они не били друг друга. А Вася — 500 королей на белых 5 клетках (в шахматной раскраске) доски 100×100 так, чтоб…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого — дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше π, а площадь равна четверти площа…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках X и Y . Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в 9 1 1 двух точках X и Y . О…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Трапеция ABCD вписана в окружность. Её основание AB в 3 раза больше основа- 9 ния CD. Касательные к описанной окружности в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что уго…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Произвольная прямая ℓ, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B. Прямые, касающиеся окружностей в то…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одина- 8 ковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, 7 начинает Петя. В свой ход игрок выбирает лю- 6 бую фишку и сдвигает её либо по вер…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Точка M лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырехуголь…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Назовём пару (m,n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если mn и (m+1)(n+1) 8 — точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые 2 соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые 2 фиш- 5 ки, между кот…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. У Васи есть неограниченный запас брусков 1 × 1 × 3 и уголков из трёх кубиков 1 × 1 × 1. Вася целиком запол- 5 нил ими коробку m × n × k, где m, n и k — целые числа, большие чем …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Полиция задержала 50 человек, из которых 35 — преступники, которые говорят, что захотят, а 15 — свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники.…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. В отель ночью приехали 100 туристов. Они знают, что в отеле есть одноместные номера 1, 2, ..., n, из которых k на ремонте (но неизвестно какие), а остальные свободны. Туристы мо…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника M расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольни- 7 ков, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых? Михаил Мурашкин…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что 8 куб одного из них равен сумме кубов остальных? Михаил Евдокимов…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса k монет слева от неё равна суммарной массе k монет справа от не…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами 1, 2, ..., 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме мас…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. 8 Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0,1)? Алексей Канель-Белов…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них шесть маленьких треугольников. 10 Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром в точке O. Описанная окружность треугольника AOC пересекает вторично пря- 6 мые AB, BC, CD и DA в точках M, N, K и L соответ…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
5. Прямоугольник 1×3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску 20 × 21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя плати…
Турнир городов · Олимпиадный