Математика
16771 заданий из открытых банков. Можно собрать тренировочный вариант, проверить свой ответ и разобрать решение — тот самый момент, когда «я сам решу» сработало.
Задание №24 · Математика · Олимпиада
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается грани ABC в ее ортоцентре H, а граней ABD, ACD в точках P, Q соответственно. Прямые DP, DQ пересекают плоскость ABC в точках X,…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №23 · Математика · Олимпиада
Даны треугольник ABC и точка P на плоскости. Прямые AP, BP, CP пересекают во второй раз окружность ABC в точках A′, B′, C′ соответственно. Найдите геометрическое место то…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №22 · Математика · Олимпиада
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D. Пусть F — точка Фейербаха, H — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую DF. Докажите…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №20 · Математика · Олимпиада
Высоты AA , BB , CC треугольника ABC повторно пересекают описанную 1 1 1 около него окружность в точках A , B , C . Пусть A — точка пересечения окруж- 2 2 2 3 ностей ABC …
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №19 · Математика · Олимпиада
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A′, B′, C′ соответственно. Точки A , A , B , C — середины b c a a отрезков A′B, A…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №18 · Математика · Олимпиада
Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP;CP повторно пересекают окружность ABC в точках E;F соответственно. Окружность Ω проходит через точки P;E и пересекает пря…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №17 · Математика · Олимпиада
Дан остроугольный треугольник ABC с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точк…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №16 · Математика · Олимпиада
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD и параллельная ее основаниям, пересекает боковую сторону AB в точке M. Пусть K — проекция M на CD. Док…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №15 · Математика · Олимпиада
Докажите, что точка Нагеля треугольника лежит на его вписанной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы двух углов высекают на стороне треугольника Жергонна, от…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №14 · Математика · Олимпиада
Дан треугольник ABC(AB < AC). На луче BA отмечена точка P так, что BP = AC, на луче CA точка Q так, что CQ = AB. На прямую PQ опустили перпендикуляры BB и CC . Докажите, …
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №13 · Математика · Олимпиада
Пусть A :::A — выпуклый многоугольник. Вершины двух замкнутых лома- 1 n ных — A ;:::;A в некотором порядке. Чему равно наибольшее возможное отноше- 1 n ние их длин?
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №12 · Математика · Олимпиада
Вершины прямоугольного треугольника ABC — точки с целыми координатами. Вписанная в треугольник окружность с центром I касается сторон AB, BC в точках C′, A′ соответственн…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №11 · Математика · Олимпиада
Точки P и Q на стороне AC треугольника ABC таковы, что PQ = AC=2. Точка B′ симметрична вершине B относительно стороны AC. Точки D и E на прямых BP и BQ выбраны так, что п…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Даны окружность !, точка A на ней и точка B. Пусть X — произвольная точка !, T — точка пересечения касательных к окружности ABX в точках X и B. Найдите геометрическое мес…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в I. Окружности BID и AIC пересеклись в точке P, а лучи AB и DC в точке Q. Пусть R –— середина PI. Докажите, что AR…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №8 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC \B = 30◦, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, окружности AIB, CIB пересекают BC, AB соответственно в точках D, E. Докажите, что D — ор…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Сторона AB треугольника ABC касается вписанной и вневписанной окружностей в точках P и Q соответственно. Точка T — проекция середины AB на биссектрису угла C. Докажите, ч…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №6 · Математика · Олимпиада
В треугольнике ABC O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, H — ортоцентр, N — точка Нагеля. Докажите, что IN = IH тогда и только тогда, когда угол ONH прямой…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AI пересекает сторону BC в точке D; прямая AD повторно пересекает описанную окру…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №4 · Математика · Олимпиада
В описанном четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что к вписанным окружностям треугольников ABC, BCD, AXD существует общая касательная.
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Пусть AK –— биссектриса треугольника ABC, точка N на AC такова, что \NKC = \CAB=2, L –— середина KN. Докажите, что \KBN = \LAK.
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №2 · Математика · Олимпиада
В равнобокую трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны AB в точке T. Отрезки TC и TD повторно пересекают эту окружность в точках P, Q соответственно. Ч…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Пусть треугольники T и ABC симметричны относительно точки P. Точки A′, B′, C′ симметричны A, B, C относительно соответственных сторон T. Оказалось, что две из этих точек …
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архивЗадание №24 · Математика · Олимпиада
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается граней ABC, BCD, CDA, DAB в точках D′, A′, B′, C′ соответственно. Обозначим через S площадь треугольника AB AC′B. Анал√огично о…
Олимпиада · Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив