Задание №178255: Турнир Ломоносова 2011
1. «Крестики-нолики на полоске». Игровое поле в этой игре — полоска, разделённая на N клеточек. Играют двое. Первый игрок каж дым своим ходом ставит крестики в две любые свободные клетки, вто рой ставит в любую свободную клетку нолик. Цель первого игрока — поставить пять крестиков подряд. Второй же должен ему в этом поме шать. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи: а) N = 10 б) N = 13 Рассмотрите и такой вариант игры: правила остаются теми же, но полоска замкнута в кольцо. Кто победит, если: в) N = 8 г) N = 9 д) N = 12
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2011». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2011
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2011
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2011» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. «Крестики-нолики на полоске».
а) Ответ: выигрывает второй игрок.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Предположим сначала, что первый поставил крестики в клетки с
номерами 5 и 6. Тогда второму надо поставить нолик в клетку 4. За
следующий ход первый игрок сможет закрыть крестиками не более двух
из трёх клеток с номерами 7, 8 или 9, следовательно, хотя бы одна из них
останется свободной. В неё второму игроку и следует поставить нолик.
Теперь выставить пять крестиков подряд в полоске уже невозможно.
Если же одна из клеток 5 и 6 осталась свободной после первого хода
первого игрока, то второй игрок должен сначала поставить нолик в неё.
Пусть это клетка с номером 5 (второй случай — симметричен). Вторым
своим ходом второй игрок должен поставить нолик в одну из клеток с
номерами 6, 7, 8, 9 и 10. Хотя бы одна из этих клеток будет свободна,
так как за два хода первый игрок закроет крестиками не более 4 клеток.
После этого в полоске не останется места для пяти последовательных
крестиков, и, таким образом, первый игрок проигрывает.
б) Ответ: выигрывает первый игрок.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Первым ходом первый игрок должен поставить крестики в клетки
с номерами 3 и 11. Если второй игрок поставит нолик в любую сво
бодную клетку левее центральной, т. е. с номерами от 1 до 6, первый
игрок должен поставить крестики в клетки 9 и 10. После этого обра
зуется «вилка»: в полоске есть три крестика подряд, у которых слева
и справа по две свободные клетки. Одна из этих пар клеток целиком
останется свободной после хода второго игрока, первый игрок поставит
туда свои два крестика и выиграет. Случай, когда второй игрок пер
вым своим ходом ставит нолик правее центра, симметричен только что
разобранному.
Рассмотрим случай, когда второй игрок первым своим ходом ставит
нолик в центральную клетку 7. Первому игроку следует поставить кре
стики в клетки 4 и 10. Без ограничения общности будем считать, что
второй игрок далее поставил нолик в клетку с номером, бо´льшим 7.
Тогда первому игроку следует поставить крестики на клетки с номе
рами 2 и 5. Получается ещё одна «вилка»: 4 крестика подряд, у которых
25
по бокам по одной свободной клетке. Этого достаточно первому игроку,
чтобы выиграть следующим ходом.
в) Ответ: выигрывает второй игрок.
Опишем действия второго игрока в зависимости от начального хода
первого игрока:
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.