Задание №178201: Турнир Ломоносова 2010
1. «Режем шестиугольник». Есть правильный шестиугольник со стороной N, разлинованный на равносторонние треугольники со стороной 1. Два игрока ходят по очереди. В свой ход игрок разрезает фигуру на две части по прямой линии сетки, одну часть выкидывает, а другую передаёт сопернику. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи: а) N = 2 б) N = 3 в) N произвольно (В пунктах «а» и «б» нарисовано несколько одинаковых шестиугольников. Их можно использовать для игры друг с другом или для черновика. Те части фигур, которые по условиям игры выкидываются, рекомендуется заштриховывать.) 19
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2010». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2010
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2010
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2010» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. «Режем шестиугольник». Во всех случаях победит второй игрок.
Рассмотрим сразу общий случай (пункт «в»). Заметим, что в любой
момент у полученной фигуры углы равны либо 60 ◦, либо 120 ◦. Вто-
рой игрок победит, если будет придерживаться следующей стратегии:
если у фигуры есть острый угол, отломить единичный равносторон-
ний треугольник и отдать его сопернику, иначе разрезать фигуру по
линии, симметричной предыдущей линии разреза относительно цен-
тра фигуры, имевшейся на руках у соперника непосредственно перед
его ходом.
Следуя этой стратегии, второй игрок всегда будет иметь ход, а
потому не проиграет. Поскольку кто-то должен проиграть, то это и
будет начинающий.
В принципе, правильность описанной стратегии достаточно оче-
видна. Попробуем, однако, более подробно объяснить, почему у второго
игрока всегда будет ход. А именно, покажем, что
Перед каждым ходом начинающего у него в руках будет
либо равносторонний треугольник со стороной 1, либо цен-
трально-симметричный шестиугольник с углами по 120 ◦.
Исходный шестиугольник такими свойствами обладает. Пусть пер-
вый игрок провёл карандашом линию своего разреза. Эта линия прохо-
дит по границам треугольничков и потому параллельна одной из пар
противоположных сторон. Если она пересекает пару противоположных
сторон (в частности, проходит через углы), то у каждой из образую-
щихся после разреза частей есть угол в 60 ◦ (один из двух накрест
лежащих углов при этой секущей), поэтому второй игрок отдаст пер-
вому треугольничек. Если она пересекает пару непараллельных сторон,
то на части, не содержащей центр симметрии, будет даже два острых
угла, а на другой части острых углов не образуется, но там можно
будет провести симметричный разрез и отдать сопернику фигуру без
острых углов и с восстановленной симметричностью. Этот шестиуголь-
ник будет снова удовлетворять условиям, и так далее.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.