Задание №178202: Турнир Ломоносова 2010

2. «Сколько конфет?» В пунктах «а» и «г» победит Заяц, в пунк-
тах «б» и «в» — Волк.
Сначала о двух условностях, связанных с этой игрой. Во-первых,
понятно, что любой игрок в любой момент может победить, случайно

21

угадав число конфет в мешках. Предполагается, однако, что игроки
называют число только если уверены в его правильности, а не гадают
попусту. Во-вторых, при совершенно честной игре может сложиться
ситуация, когда количество конфет можно назвать раньше, чем в общем
случае. Например, если, показав на два мешка, мы получаем ответ «10»,
то ничего о содержимом каждого мешка сказать нельзя, а если нам
ответят «0», то можно. Причём эта проблема не решается даже если
договориться, что в мешках достаточно много конфет: если, например,
их не менее пяти в мешке, то уже ответ «10» даст «лишнюю» инфор-
мацию. В реальных играх со школьниками на Турнире наши ведущие
просили школьников решать задачу предполагая, что таких особых слу-
чаев не происходило, а самым дотошным велели представить себе, что
количество конфет может быть отрицательным — если такое допустить,
проблема снимается.
Теперь опишем решение каждого пункта задачи. Мешки будем обо-
значать жирными латинскими буквами, а количество конфет в каждом
мешке — такими же курсивными латинскими буквами. Мы будем вся-
кий раз описывать только один из нескольких равноправных случаев,
если таковые представятся.
В пункте «а» Заяц сначала указывает на мешки A и B и узнаёт
A + B. Разумеется, общую сумму он назвать пока не может. Волк своим
ходом узнаёт B + C. Поскольку он не в состоянии по этим данным отли-
A B C A B C
чить, например, ситуацию с суммой 12 от
3 4 5 2 5 4
с суммой 11, он не станет называть общую сумму. Заяц же, спросив
A + C, сложит и поделит пополам три известных ему суммы и получит
A+B+C, а потому победит. Заметим, что он сможет назвать, очевидно,
не только общую сумму, но и количество конфет в каждом мешке.
В пункте «б» Заяц указывает на мешки A и B и узнаёт A + B. Далее
Волк узнаёт C + D и немедленно побеждает.
Значительно сложнее пункт «в». Сначала Заяц, как и ранее, указы-
вает на мешки A и B и узнаёт A + B. После этого Волк (напомним, мы
описываем выигрышную стратегию именно для него) укажет на C и D
и узнает C + D. Если теперь Заяц укажет на пару мешков с участием
E, например, на E и A, Волк тут же спросит про E и B, узнает (как в
пункте «а») сумму A + E + B, прибавит известную сумму C + D и выиг-
рает. Поэтому разумный Заяц назовёт два мешка из разных названных
ранее пар, например B и C, а Волк на это «замкнёт цепочку», спросив
про A и D. Как мы уже видели, Заяц не может своим следующим вопро-
22

сом задействовать мешок E, поэтому он спросит про A и С (или про
B и D), и теперь обоим будут известны (согласно замечанию к пункту
«а») количества конфет в каждом из первых четырёх мешков. Назвав
теперь один из них и E, Волк выиграет.
В пункте «г» Заяц, как обычно, указывает на мешки A и B и узнаёт
A + B. Если Волк укажет на два других мешка (этот ход помог ему
выиграть в предыдущем пункте), то Заяц укажет на два оставшихся и
немедленно победит. Так что Волку остаётся назвать В и С. Заяц точно
так же как в пункте «а» указывает на мешки A и C, и теперь обоим
известно, сколько конфет в каждом из первых трёх мешков. Своим сле-
дующим ходом Волк может либо указать на один из новых мешков и
один из первой тройки, либо на два новых. Но ни один ход не сулит ему
победы: если он укажет, например, на A и D, Заяц, зная A, вычислит
D, потом назовёт E и F и победит. Если же Волк укажет на D и E, то
Заяц укажет на A и F, найдёт F и тоже победит.