Задание №178407: Турнир Ломоносова 2014
2. «Колода карт». В колоде две красные и много чёрных карт. Играют двое, которые всегда видят расположение карт в колоде. В свой ход каждый вытягивает из колоды любую красную карту и помещает её в любое место колоды, но выше того места, где она была до этого. Если две красные карты лежат рядом, игроку разрешается вытянуть обе и поместить их в колоду как единое целое, также выше того места, где они лежали. Победит тот, кто добьётся, чтобы обе красные карты лежали сверху колоды. Известно, что верхняя из двух красных карт: а) вторая сверху в колоде б) третья сверху в колоде в) четвёртая сверху в колоде Кто — начинающий или его соперник — победит в зависимости от положения оставшейся красной карты? г) Опишите все возможные расположения красных карт, при кото рых побеждает второй игрок.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2014». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Оставшуюся часть резать нельзя, так как она шириной 1, и второй
игрок, начав резать квадрат 3 × 3, проигрывает (см. пункт «а»).
в) Победит начинающий. Первый ход он может сделать так, как
показано на рисунке (жирная линия).
При этом фигура распадается на два равных белых прямоугольника,
у одного из которых будут несущественные для игры серые «выросты».
Теперь первый игрок применяет симметричную стратегию: на вся
кий ход второго в одном из прямоугольников отвечает таким же ходом
в другом. Ходы раньше кончатся у второго игрока.
г) Победит начинающий, его первый ход на рисунке показан жирной
линией. Далее стратегия аналогична стратегии из пункта «в».
25
д) Частный случай пункта «е».
е) Победит начинающий, его первый ход показан на рисунке (жир
ная линия).
Пунктирная прямая делит закрашенную фигуру на две одинаковые
части (и является осью симметрии фигуры). Разрез по правилам игры
не может затронуть сразу обе эти части, и в любой одной части можно
делать разрезы независимо от того, что происходит в другой.
На любые ходы второго игрока в закрашенной фигуре первый отве
чает симметричным разрезом относительно пунктирной линии.
Когда второй игрок решит разрезать квадрат 3 × 3, первый тут же
«дорежет» его как в пункте «а».
И снова ходы у второго закончатся раньше.
ж) Победит начинающий, вырезав прямоугольник 12 × 13.
Стратегия аналогична стратегии в пункте «г».
Аналогичная игра возможна на любом прямоугольнике 𝑚 × (2𝑚−1)
при любом натуральном 𝑚 > 1.
26
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.