Задание №178358: Турнир Ломоносова 2013
1. «Только один сосед». На прямоугольной доске 𝑚 𝑛 клеточек × два игрока по очереди закрашивают по клеточке. Первой можно закра сить любую клетку, а далее каждая следующая закрашиваемая клетка должна иметь ровно одну общую сторону с уже закрашенной клеточ кой. Дважды клеточку красить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи: а) 𝑛 и 𝑚 — нечётные числа; б) 𝑛 = 𝑚; в) 𝑛 = 2, 𝑚 — любое.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2013». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2013
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2013
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2013» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. «Только один сосед».
а) Первый игрок побеждает, закрашивая центральную клетку и
далее отвечая центрально-симметрично на ходы партнёра.
б) Первый игрок побеждает, закрашивая любую клетку на диаго
нали и далее отвечая на ходы партнёра симметрично относительно этой
диагонали. При этом соперник не может закрасить клетку на этой диа
гонали, ибо у каждой клетки на этой диагонали после хода первого
игрока всегда чётное число закрашенных соседей.
в) Второй игрок побеждает при 𝑚 = 1 и при 𝑚 = 4𝑘, а иначе побеж
дает первый.
Приведём требуемые стратегии. Полоску будем располагать горизон
тально, столбцы нумеровать слева направо числами 1, 2, 3, ..., 𝑚.
1 2 3 𝑚
Если 𝑚 = 4𝑘 + 2 или 4𝑘 + 3, первый красит угловую слева клетку.
Далее он играет по принципу: «Если есть возможность дозакрасить
целиком нечётный столбец, это нужно делать, если нет — можно ходить
куда попало». При этом в итоге все нечётные столбцы будут закрашены
полностью, а чётные — наполовину. Всего нечётных столбцов будет
2𝑘 + 1, в них закрашено по одной клетке. В чётных столбцах закрашено
по две клетки. То есть всего будет закрашено нечётное количество кле
ток. Значит, последний ход сделал первый игрок — он и победил.
Если 𝑚 = 4𝑘 + 1 и 𝑘 > 0, первый красит клетку во втором слева
столбце. Далее он играет по принципу: «Если есть возможность доза
красить целиком чётный столбец, это нужно делать, если нет — можно
ходить куда попало». При этом в итоге будут закрашены чётные
столбцы, а нечётные — наполовину. Нетрудно подсчитать, что первый
снова победит (так как количество нечётных столбцов будет 2𝑘 + 1, то
есть нечётным).
При 𝑘 = 0, очевидно, победит второй. (А приведённая стратегия не
работает — второго слева столбца попросту нет, и уже первый ход в
соответствии с ней сделать нельзя.)
Наконец, при 𝑚 = 4𝑘 победит второй. Если первый игрок закра
сил какую-то клетку, второй дозакрашивает столбец и начинает играть
по принципу: «Если есть возможность закрасить целиком столбец той
23
чётности, которая была у первого закрашенного столбца, это нужно
делать, если нет — можно ходить куда попало». При этом в итоге будут
закрашены столбцы одной чётности, а остальные — наполовину. Коли
чество чётных столбцов чётно и количество нечётных столбцов — тоже
чётно. Поэтому всего будет закрашено чётное количество клеток. Зна
чит, последний ход сделает второй игрок — он и победит.
Используемые формулы
в) Второй игрок побеждает при 𝑚 = 1 и при 𝑚 = 4𝑘, а иначе побежЕсли 𝑚 = 4𝑘 + 2 или 4𝑘 + 3, первый красит угловую слева клетку.Если 𝑚 = 4𝑘 + 1 и 𝑘 > 0, первый красит клетку во втором слеваПри 𝑘 = 0, очевидно, победит второй.Наконец, при 𝑚 = 4𝑘 победит второй.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.