Задание №178308: Турнир Ломоносова 2012
1. «Полоска из прямоугольника». Дан бумажный прямоуголь ник m n клеточек (n > 1 и m > 1). Первый игрок разрезает прямо × угольник на два прямоугольника по линии сетки. Второй делает то же с одним из получившихся прямоугольников, затем снова ходит первый (выбирает любой имеющийся в данный момент прямоугольник и разре зает его на два прямоугольника по линии сетки) и так далее. Побеждает тот, кто после своего хода из всех получившихся частей может сложить полоску шириной в 1 клетку. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи: а) Среди чисел n и m есть хотя бы одно чётное; б) Числа n и m нечётные.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2012». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2012
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2012
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2012» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. «Полоска из прямоугольника».
а) Побеждает первый, разрезая прямоугольник пополам и затем
проводя разрезы, симметричные разрезам второго игрока относительно
линии, по которой он провёл самый первый разрез.
б) Побеждает второй, проводя разрезы, симметричные разрезам пер
вого игрока относительно центра доски.
В обоих случаях понятно, что игрок, пользующийся симметричной
стратегией, всегда имеет возможность так пойти: ситуация перед ходом
соперника симметрична, поэтому, если соперник по правилам разре
зает одну из частей, наш игрок всегда может так же разрезать сим
метричную часть. Победить соперник после своего хода не может: если
бы это было так, то часть, которую он разрезает, была бы последней
не-полоской. Но в пункте «а» всегда есть такая же симметричная часть.
А в пункте «б» либо есть такая же симметричная часть, либо первый
разрезает прямоугольник, содержащий центр симметрии исходного пря
моугольника. Но тогда длины обеих его сторон нечётны (так как отре
зались парами одинаковые прямоугольники) и поэтому не равны 2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.