Задание №176185: ОММО 2014
Задача 9. В городе 200 жителей. Часть из них – рыцари, которые всегда говорят правду, остальные – лже цы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живет в одном из четырех кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: «Вы живете в квартале А?», «Вы живете в квартале Б?», «Вы живете в квартале В?», «Вы живете в квартале Г?». На первый вопрос утвердительно ответило 105 жителей, на второй – 45, на третий – 85 и на четвёртый – 65. В каком квартале лжецов живет больше, чем рыцарей и на сколько?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. Левая часть уравнения неотрицательна. Следовательно, ax ≥ 0. При a = 0 уравне-
ние имеет два корня −1 и 1. Значит, a = 0 не удовлетворяет условию.
Рассмотрим случай a > 0. Тогда x ≥ 0 и поэтому x = x. Построим график функции
y = ln x . Прямая y = ax должна пе-
ресекать этот график в трех точках.
На рисунке видно, что это выполня-
ется тогда и только тогда, когда пря-
мая проходит внутри угла, образо-
ванного осью абсцисс и касательной
y = a x к графику функции y = ln x
0
при x >1.
Найдем a . Абсцисса точки
0
касания удовлетворяет уравнениям
1 1
a x = ln x, a = , откуда a = ,
0 0 x 0 e
1
x = e. Таким образом, 0 < a < .
е
1
Случай a < 0 симметричен, то есть −< <a 0.
e
1 1
Ответ. −< <a 0,<0 <a .
e e
Используемые формулы
При a = 0 уравне-Значит, a = 0 не удовлетворяет условию.Тогда x ≥ 0 и поэтому x = x.y = ln x .Прямая y = ax должна пе-y = a x к графику функции y = ln x
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.