Задание №176184: ОММО 2014
Задача 8. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ln x = ax имеет три решения.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 7. Введем обозначения, как на
рисунке. Продолжив боковые стороны,
обозначим их точку пересечения буквой
E . Точку пересечения диагоналей назо-
вем F . Прямоугольные треугольники
BFC и DFA подобны и, если обозначить
катеты первого x и y , то соответствен-
ные катеты второго равны 3x и 3y.
Высота трапеции h складывается
из высот треугольников BFC и AFD:
BF ⋅FC AF ⋅FD xy 9xy
h = + = + = 2xy.
2 6 2 6
8
Площадь трапеции равна площади треугольника AED. Получаем:
9
1 8 1 2 3 3 1
AC⋅⋅=BD⋅ ⋅ ⋅AE°⋅=ED s⋅in=30⋅ AB CD AB CD ,
2 9 2 9 2 2 2
1 Это утверждение является частным случаем неравенства Коши.
Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo 2
Объединенная межвузовская математическая олимпиада 02.02.2014
1
откуда 8xy = x+2⋅+9y2 y2 9x2 . Учитывая, что x2 + y2 = 4, находим:
2
1
8xy = 4++⋅ 8y2= 4 +8x2 2 + (1 2y2)(1 2x2).
2
Проведем очевидные преобразования:
16x2y2 =1+2(x2 + y2) +4x2y2; 12x2y2 = 9; 2xy = 3.
Ответ: 3.
Используемые формулы
h = + = + = 2xy.AC⋅⋅=BD⋅ ⋅ ⋅AE°⋅=ED s⋅in=30⋅ AB CD AB CD ,откуда 8xy = x+2⋅+9y2 y2 9x2 .Учитывая, что x2 + y2 = 4, находим:8xy = 4++⋅ 8y2= 4 +8x2 2 + (1 2y2)(1 2x2).16x2y2 =1+2(x2 + y2) +4x2y2;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.