Задание №176193: ОММО 2014
Задача 8. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ln x - 1= axa имеет три решения.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2014» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Предположим, что T – период функции y = f (x). Из условия получаем:
cos x =−f (x)=−−3πf (−x ) − f=(−−x T) 3f (x T πc)os (x T).
Поскольку это равенство верно для всех x , число T является периодом функции y = cos x,
т.е. T =π2 n, где n – некоторое натуральное число. Из данного уравнения получаем:
f (x)+=−3πf (x= −) πco−s x+ 3(3=f (x 2 ) cos x) cos x
+ − += =−3(3π(3f (x 3 ) cos x) cos x) cos x
=...= 3 ( 3(...(3f (−x π2 −n) c+os x+) ...− cos+x) cos=x ) cos x
− =−32+n f (x−) +co−s x(32n−1 32n−2 32n−3 ... 3 1).
Тогда
1−32n
f (x)(1−=32−n+ ) −−co=s x⋅ (1 3 32 ... 32n−1) cos x .
1+3
1
Следовательно, f (x) = cos x.
4
1
Ответ: f (x) = cos x.
4
Используемые формулы
Предположим, что T – период функции y = f (x).cos x =−f (x)=−−3πf (−x ) − f=(−−x T) 3f (x T πc)os (x T).Поскольку это равенство верно для всех x , число T является периодом функции y = cos x,T =π2 n, где n – некоторое натуральное число.f (x)+=−3πf (x= −) πco−s x+ 3(3=f (x 2 ) cos x) cos x+ − += =−3(3π(3f (x 3 ) cos x) cos x) cos x
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.