Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Ответ.
503 таблетки.
Решение. Пока звери не съели лекарство, заберём одну таблетку
у носорога, две у бегемота и три у слона. Теперь у всех четверых поровну.
Забрали мы 6 таблеток, то есть осталось их 2000 - по 500 у каждого.
У слона забрали 3 таблетки, то есть Айболит прописал слону 503 таблетки.

Ответ. а) Нет, не всегда; б) да, всегда сможет найти.
Решение.
а) Всегда, когда Буратино приближается к перекрёстку A ,
он удаляется от перекрестка C (см. рис. а). Поэтому, Буратино не
сможет различить следующие две ситуации:
1) Клад закопан на перекрестке A и радио говорит правду;
2) Клад закопан на перекрестке C и радио лжет.
б) Заметим, что если Буратино знает, что радио говорит
правду, то он сможет найти клад. Действительно, двигаясь
по улице BD сверху вниз (см. рис. б), он найдёт
горизонтальную улицу, на которой лежит клад. Затем, двигаясь
по этой горизонтальной улице слева направо, он найдёт
точное местоположение клада. Если же Буратино знает,
что радио лжёт, то он всё равно сможет найти клад
(действуя тем же способом, но заменяя указания радио на
противоположные).
Теперь Буратино остается выяснить, лжёт ли радио.
Пусть вначале Буратино предположит, что радио говорит правду,
и попытается найти клад. Действуя, как описано выше, он найдёт
точку T , в которой может быть зарыт клад, либо (если сообщения
радио будут противоречивы) поймёт, что радио лжет.
Аналогично, предположив, что радио лжёт, Буратино
найдёт точку L , в которой предположительно лежит клад,
либо сможет установить, что радио говорит правду.
Итак, проделав это, Буратино либо уже установил, говорит ли радио
правду, либо нашёл две точки T и L , в одной
из которых точно находится клад.
Рассмотрим на плане города три отрезка (см. рис. в). Хотя бы
на одном из них не лежит ни T , ни L . Поэтому Буратино может
встать в один из концов этого отрезка и совершить переход в соседнюю точку,
не лежащую на этом отрезке (рис. г).
При этом он приблизится как к T , так и к L .
Таким образом Буратино определит, лжет ли радио, и узнает, где
находится клад.
Опубликовано 11 февраля 2007 года

Ответ .
Решение.
Можно попытаться найти решение, просто пробуя различные пары вершин внутри
квадрата 4*4 и стараясь сделать получаемый шестиугольник поуже.
При этом удобнее считать не площадь шестиугольника, а площадь оставшейся
части квадрата - она должна быть равна 10 клеткам.
Для подсчёта площади можно разбить оставшуюся часть на прямоугольные
треугольники и вспомнить, что площадь прямоугольного треугольника,
катеты которого идут по линиям сетки, равна половине площади прямоугольника
со сторонами a и b (см. рис. слева) и равна
ab /2 (эта формула верна и для произвольного прямоугольного
треугольника). Те из вас, кто знает более общую формулу: площадь
треугольника со стороной a и опущенной на неё высотой h равна
ah /2 (см. рис. справа), могут сразу найти площадь произвольного
треугольника, не разбивая его на прямоугольные.

Ответ. 11 часов 40 минут.
Первое решение.
Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в
210/6=35 раз быстрее, чем в то время, когда разговор не ведётся.
Пусть Алёна проговорила x часов. Тогда энергии аккумулято-
ра осталось на (6- x ) часов разговора или на 35*(6- x )
часов ожидания. По условию это время также равно x часов ожидания,
поэтому 35*(6- x )= x , откуда x =35*6/36=35/6 часов,
то есть 5 ч 50 мин. И, значит, вся поездка продолжалась
11 ч 40 мин.
Второе решение. Если бы Алёна говорила 210*6 часов и молчала
210*6 часов, то телефон бы полностью разрядился 210+6=216 раз.
Так как на на самом деле телефон разрядился один раз, Алёна
говорила 210*6/216 часов и молчала 210*6/216 часов, то есть ехала
она 2*(210*6/216) часов. После сокращения получаем 11 часов 40 минут.
Примечание. Ответ в этой задаче является средним гармоническим
чисел 6 и 210 ( средним гармоническим чисел a и b называется
число 2/((1/ a )+(1/ b ))=2 ab /( a + b )).

Ответ. 7 этажей.
Решение.
Пусть с шестого этажа Тане надо было спуститься на n
этажей. Тогда Таня прошла "лишний путь" вверх до последнего этажа
и обратно до шестого. Длина лишнего пути 1,5 n - n =0,5 n
этажей. Половину этого лишнего пути Таня шла вверх, а половину -
вниз. Значит, вверх она поднялась на n /4 этажей.
Если она поднялась на один этаж ( n /4=1), то Таня живет на 4
этажа ниже Даши и в доме 7 этажей. Если же n /4 равно 2 или больше,
то Тане пришлось бы спуститься с шестого этажа минимум на 8 этажей
вниз, что невозможно.

Ответ. а) да; а) да.
Решение. а) Пусть все царевны назовут царевнами Кощеевых дочек
(см. рис). Тогда Кощеевых дочек назовут не менее трёх раз,
а царевен - не более чем дважды. Так Иван их и отличит.
Любое из решений пункта б), конечно, годится и для пункта а).
б) Первое решение. Пусть старшая дочь назовёт
царевнами среднюю и младшую, младшая - среднюю и старшую,
а средняя - себя и младшую (см. рис. 3, снизу). Тогда Иван сразу
узнает среднюю царевну - это единственная девушка, которая
назвала царевной себя, и её назвали царевной по крайней мере ещё
две девушки. После этого Иван узнает младшую царевну (её назвала
средняя), а потом и старшую (её назвала младшая). Заметим, что Иван
мог бы рассуждать и иначе. Три царевны называют друг друга по кругу:
образуют "треугольник", в котором каждая девушка называет следующую.
Поскольку ни одна из них не называет царевной дочерей Кощея, а тех
всего две, то дочери Кощея не могут входить ни в какой подобный
"треугольник". Так можно понять, какие из девушек царевны. Потом,
используя остальные ответы, нетрудно установить и старшинство.
Второе решение. Пусть та царевна, которая будет отвечать Кощею
первой, назовёт среднюю и младшую царевен, вторая по счёту - старшую
и младшую, последняя - старшую и среднюю. Тогда дочери Кощея - те две
девушки, которых не назвали трое остальных. Ошибки быть не может, ведь
каждую царевну называют как минимум двое. Теперь Иван знает, кто царевны,
а старшинство определяется без труда.
Опубликовано 11 февраля 2007 года

Решение. Из предложенных фигурок можно сложить четыре
различные фигуры, имеющие ось симметрии. Две из них приведены на
рисунке. У одной из них ось симметрии вертикальная, а у другой
проходит по диагонали. Это не случайно - ось симметрии фигуры,
нарисованной по клеточкам, может быть либо параллельна сторонам
клеток, либо идти под углом 45 градусов к ним.
Попробуйте найти остальные два решения.

Ответ. 700 золотых монет.
Решение.
За книгу "Три поросёнка-2" каждый автор должен получить четверть гонорара.
Но так как Наф-Наф свою долю уже забрал, Волку причитается 1/3 остатка.
За книгу "Красная шапочка-2" ему также полагается 1/3 гонорара. Поэтому
всего он должен получить треть переданной ему суммы.

Ответ. Тройка.
Решение.
Разложим число 2007 на простые множители:
2007=3*3*223.
Отсюда можно было бы сделать вывод, что отметки Вовочки - это две
двойки и три тройки. Но на самом деле надо ещё доказать, что нет
других вариантов отметок. Посмотрим, как ещё можно разложить 2007
на множители: 2007=9*223=3*669. Поскольку отметки 9 не бывает,
эти разложения числа 2007 не могли возникнуть из Вовочкиных отметок.
Так как троек у Вовочки больше, чем двоек, и последняя отметка, как ни
переставляй множители, - тройка, можно надеяться, что тройку в четверти
он получит.

Ответ. На первом канале.
Решение.
На первом канале между началом каждой части и началом следующей проходит
22 минуты. За это время на втором канале пройдут две части по 10 минут
и две минутные рекламные паузы. Следовательно, началу каждой части на
первом канале соответствует тот же момент фильма на втором.
Когда на первом канале начнётся последняя часть, до конца фильма
останется 20 минут, рекламы уже не будет. На втором же канале
покажут две части по 10 минут с минутной рекламной паузой,
поэтому на первом канале фильм закончится на одну минуту раньше.