Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Ответ. 9 раз.
Решение. Количество рублей, потраченных Андреем в те дни,
когда он покупал билет у шофёра, делится на 5; на 5 делится и общее
количество потраченных им в январе рублей. Значит, и в другие дни общее
количество потраченных денег делилось на 5. Поэтому, количество дней,
когда Андрей покупал билет у кондуктора, делится на 5. Числа 0 и 10
не годятся; числа, большие 10 - тем более, поэтому единственный воз-
можный вариант - 5 дней. Тогда остальных дней
(115-11*5)/15=4, а кружок был 9 раз.

Ответ. 18 м/мин.
Решение. Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его
скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.

Ответ.
а) Да; б) Нет.
Решение.
а) Сначала закрасим ряд длиной 9 клеток, содержащий
изначально закрашенную клетку (см. первый рисунок). Далее будем красить
столбцы через один, начиная закраску от покрашенного ряда
(см. второй рисунок). После этого закрасить оставшиеся клетки
доски совсем просто.
Комментарий.
Данный способ покраски обобщается на тот случай, когда хотя бы одна из
сторон прямоугольника имеет нечётную длину. Повернём
прямоугольник так, чтобы его ширина была нечётной, а после этого повторим
только что описанную процедуру: красим ряд нечётной длины, и так далее.
б) Первый способ. Посмотрим на полупериметр фигуры, состоящей
из закрашенных клеток. Вначале, когда закрасили одну клетку, полупериметр
равен 2. На каждом шаге полупериметр или увеличивается на 1 (если у клетки
была только одна соседняя закрашенная клетка) или уменьшается на 1
(если таких соседей было 3), то есть полупериметр увеличивается или
уменьшается на 1. Следовательно, когда закрашено чётное число клеток,
полупериметр закрашенной фигуры нечётен. Заметим, что полупериметр всего
прямоугольника 8*10 равен 18, то есть чётный, поэтому весь прямоугольник
закрасить нельзя.
Второй способ. Докажем, что для чётных m и n
прямоугольник m * n нельзя закрасить ни при какой начальной
закрашенной клетке. Посмотрим, сколько всего сторон имеют клеточки
(включая внешние). Сторон клеточек
m ( n +1)+ n ( m +1)=2 m n + m + n ,
то есть чётное число. Предположим, что мы смогли закрасить весь прямоугольник.
Будем называть сторону закрашенной , если закрашена хотя бы одна из
прилегающих к ней клеток. Вначале закрашено 4 стороны. На каждом шаге
закрашивается 1 или 3 стороны. Всего таких шагов нужно сделать
nm -1. Поскольку m и n чётны, то число nm -1
нечётно. Итак, если бы мы смогли закрасить весь прямоугольник, то было бы
закрашено 4+(нечётное число раз по нечётному числу) сторон, то есть нечётное
число, но, как мы уже посчитали, таких сторон чётное число, значит, весь
прямоугольник закрасить нельзя.
Дата последнего изменения — 12 февраля 2006 года

Ответ. Например, сад может выглядеть так, как
показано на первом рисунке.
Комментарий. На самом деле, можно так расположить груши и яблони,
что яблонь будет во много раз больше, чем груш. Расставим груши на одной
прямой через равные расстояния так, чтобы расстояние между первой и последней
не превосходило 20 метров. После этого берём любые две груши (назовём их
A и B ) и ставим яблонюв вершине равнобедренного треугольника
с основанием AB и боковыми сторонами длиной 10 метров. Ещё одну яблоню
ставим симметрично этой яблоне относительно линии груш (см. второй рисунок).
Значит, яблонь можно поставить вдвое больше числа пар груш, а оно равно
n ( n -1)/2. Мы сможем поставить
( n ( n -1)2)*2= n ( n -1) яблонь. Заметим, что в этом
случае отношение числа яблонь и числа груш равно
n ( n -1)/ n = n -1, значит, выбирая достаточно
большие n , это отношение можно сделать сколь угодно большим.

Ответ .
а) 1; &nbsp б) 1989.
Решение. а) Первый матпраздник был в 1990 году. Ясно, что год его
проведения делится на его номер, потому что номер равен единице.
б) Пусть N - номер матпраздника. Тогда год его проведения равен
(2006-17)+ N =1989+ N . Пусть год проведения делится на номер,
то есть 1989+ N делится на N . Значит, 1989 делится на N .
Поскольку мы ищем наибольшее возможное N , то нужно взять N =1989.

Ответ.
Наташа права.
Решение.
Всего существует 7 различных вариантов расположения дат в январском календаре.
При этом существует всего 2 существенно различных варианта расположения
треугольника 10-20-30 (см. первые два рисунка), все остальные получаются
из первых двух горизонтальными сдвигами треугольника. Проверим Наташино
предположение для первого случая, а для второго случая рассуждения
будут аналогичными. Очевидно, что у треугольника 30-9-10 угол 9 прямой
(см. четвёртый рисунок), и, аналогично, является прямым угол 13 у
треугольника 10-13-20. Ясно, что стороны 9-30 и 10-13 равны;
аналогично, равны стороны 9-10 и 13-20. Поэтому треугольники
9-30-10 и 13-10-20 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
отрезки 10-30 и 10-20 равны. Так как сумма углов в треугольнике
равна 180 o , получаем, что сумма острых углов в треугольнике
9-10-30 равна 180 o -90 o =90 o . Осталось
заметить, что сумма углов, дополняющих угол 10 до развёрнутого угла,
равна сумме острых углов треугольника 9-10-30. Значит, угол 10 тоже
равен 90 o . Итак, треугольник 10-20-30 является равнобедренным
прямоугольным.

Ответ.
6/7 и 1/7.
Решение.
Треть доли Пуха увеличила втрое порцию Пятачка,
то есть сама была вдвое больше неё. Значит, вся доля Пуха была в 6 раз
больше доли Пятачка, то есть у Пуха было вначале 6/7 торта,
а у Пятачка - 1/7.

Решение.
Каждая команда провела 4 игры. Ясно, что первая команда один раз сыграла
вничью, а остальные игры проиграла. Вторая имеет две ничьи и два поражения.
Третья команда пять очков на одних ничьих набрать не могла, стало быть,
она один раз выиграла, кроме того, у неё две ничьи и поражение. Четвёртая
команда победила два раза (если бы один, то ей пришлось бы набрать в
трёх играх на одних ничьих 4 очка, что невозможно). Также у этой команды
есть ничья и поражение. В итоге первые четыре команды выиграли 3 раза,
а проиграли 7 раз. Однако число побед должно равняться числу поражений.
Значит, 4 раза они проиграли пятой команде, и у той 12 очков. Нетрудно
привести пример турнира, где такое распределение очков возможно. Пусть пятая
команда выиграла у всех, четвёртая - у первой и второй, третья - у первой,
а все остальные игры закончились вничью. Тогда у каждой команды будет
названное число очков.
Дата последнего изменения — 12 февраля 2006 года

Решение.
Возможны различные расстановки яблонь и груш, например, такая, как
показана на первом рисунке. Наибольшее число яблонь можно поместить,
если груши растут достаточно густо. Например, если посадить груши в
ряд через 5 метров, то найдётся место для 12 яблонь (см. второй рисунок).
Докажем, что больше двенадцати яблонь быть не может. В самом
деле, рассмотрим две какие-то груши. На расстоянии 10 метров от них
может быть только две яблони - одна по одну сторону от линии груш,
другая - по противоположную (см. третий рисунок). Поэтому каждая
пара груш "обслуживает" не более чем две яблони. Так как пар груш
ровно шесть (пересчитайте!), то максимальное число яблонь равно 12.

Решение.
Первый способ. Пусть Таня нальёт из полного малого кувшина речную
воду в большой, а затем наполнит малый и из него дольёт большой доверху.
Далее Тане надо опорожнить большой сосуд и вылить в него остаток из малого.
Если малый был на 3 литра, то сейчас в большом 1 литр, иначе - 3 литра.
Теперь пусть Таня снова попытается перелить воду из полного малого кувшина
в большой. Если это ей удастся, то малый был трёхлитровым, если вода
польётся через край, - четырёхлитровым.
Второй способ. Если бы у Тани большой кувшин вмещал 10 литров,
то достаточно было бы попытаться налить в него воду из малого трижды.
Если вода польётся через край, то малый на 4 литра, если нет, то на 3.
С пятилитровым кувшином такая проверка возможна, если Таня опорожнит
пятилитровый кувшин, когда тот заполнится.

Ответ.
На 3-й этаж.
Решение.
Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах
их не более, чем 10*9*3=270, то есть в 10-м подъезде квартиры N 333 не
будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах
будет не менее, чем 9*9*5=405 квартир, то есть искомая квартира
будет не в десятом подъезде. Значит, квартир на этаже 4, в первых девяти
подъездах 9*9*4=324 квартиры. Тогда в десятом подъезде квартиры
начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем -
с 333-й. Таким образом, Пете нужно подняться на третий этаж.