Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Решение:
Фигура состоит из 22
клеток. Если при разрезании получилось x трёхклеточных уголков и y
четырёхклеточных, то 3 x +4 y =22.
Очевидно, что число
x чётно и x < 8 (3*8=24), так что x может быть
равно 0, 2, 4 или 6. Ни 0, ни 4 не подходят: y должно быть целым. При
x =2 получаем y =4, а при x =6 получаем y =1.
Оба случая возможны, как показано на рисунках:
x =2
x =6
Ответ: 2
или 6.

Решение:
Если
Б > 2, то БА > 20 и БАО > 200, так что
БАО*БА*Б > 200*20*2=8000>2002. Значит, Б=1.
Разложим число
2002 на простые множители: 2002=2*7*11*13. Теперь легко выписать все двузначные
делители числа 2002, начинающиеся на цифру 1. Это числа 11, 13 и 2*7=14.
Вычислим соответствующие частные: 2002:11=182, 2002:13=154 и 2002:14=143.
Ответ: 143*14*1=2002.

Ответ. Нельзя.
Решение.
Предположим, что можно. В кубе 8 угловых кубиков (на рисунке
они покрашены в черный цвет) и 6 "центральных" кубиков (они расположены
в центрах граней и заштрихованы на рисунке). Нетрудно видеть, что любой ход
из углового кубика ведет в кубик в середине ребра, а следующий ход —
в центральный кубик. Таким образом, чтобы попасть из одного углового кубика
в другой, придется пройти хотя бы через один центральный.
Иными словами, между каждыми двумя соседними (в порядке обхода) угловыми
кубиками должен встретиться хотя бы один центральный.
Значит, центральных кубиков не меньше семи, а их всего лишь шесть!
Дата последнего изменения — 17 февраля 2003 года

Ответ. 1200.
Решение.
Предположим, что солдаты поставлены в m колонн и n шеренг.
Тогда в полку mn солдат, и mn /100 солдат получили новое
обмундирование. Согласно условию, не менее чем в 40 n /100
шеренг есть хотя бы по одному солдату в новом обмундировании, значит,
mn /100 > 40 n /100.
Отсюда ясно, что m > 40. Аналогично, так как не менее
чем в 30 m /100 колонн есть солдаты в новом обмундировании,
mn /100 > 30 m /100.
Поэтому n > 30. Значит, в полку не менее,
чем 40*30=1200 солдат.
Покажем, что 1200 солдат можно построить таким образом. Построим их в виде
прямоугольника 30*40. Поставим по диагонали 12 солдат в новом
обмундировании (см. рисунок). Ясно, что солдаты в новом обмундировании
стоят ровно в 30% колонн и в 40% шеренг
(30% от 40 — это 12, 40% от 30 — тоже 12).

Ответ. Да, обязательно.
Решение.
Рассмотрим прямоугольники, заштрихованные на рисунке ("диагональные").
Горизонтальная сторона исходного прямоугольника складывается из их
горизонтальных сторон. То же — для вертикальной стороны.
Поэтому периметр исходного прямоугольника равен сумме периметров
заштрихованных прямоугольников. Периметр каждого из этих прямоугольников —
целое число метров. Их сумма – тоже целое число метров.

.
Ответ. 2222232.
Решение.
Так как двоек больше, чем троек, двоек может быть 4, 5, 6 или 7.
В первом случае сумма цифр — 17, во втором — 16, в третьем — 15,
а в последнем — 14. По признаку делимости на 3 число делится на 3 тогда и
только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Значит, годится только
третий вариант.
Итак, в коде 6 двоек и 1 тройка. По признаку делимости на 4 число,
образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4. Значит, это 32.

.
Ответ. Во всех пунктах можно.
Решение. На рисунке изображены все возможные варианты
разрезания салфетки.
а)
б)
в)
г)

Ответ. 6.
Решение. Поскольку 1+2+3+4+5+6=21 и 21-12=9, а 21-15=6, то
в первый раз сумма чисел нижней и верхней граней кубика
равнялась 9, а во второй — 6. Бросим кубик третий раз так,
чтобы он упал на одну из тех двух граней, которые оба раза были
боковыми. Поскольку 21-9-6=6, то сумма чисел, которые при
третьем броске оказались на верхней и нижней гранях, равна 6.
Очевидно, цифра 3 не могла ни во второй, ни в третий раз оказаться на
верхней или нижней грани: иначе напротив нее стояла бы цифра 6-3=3,
а тройка только одна. Значит, тройка была на верхней или нижней грани при
первом броске. Поэтому напротив тройки стоит цифра 9-3=6.
Примечание. Удовлетворяющий условию задачи кубик
существует: 1+5=2+4=6 и 3+6=9.
Другое решение.
Если явно выписать все возможные сочетания чисел, которые могли
бы оказаться на боковых гранях при бросании такого кубика
(а таких сочетаний всего 15), то можно заметить, что и 12, и 15
в сумме набирается ровно двумя способами.
(12=1+2+3+6=1+2+4+5 15=2+3+4+6=1+3+5+6)
Легко заметить, что если бы 12 "выпало", как 1—2—3—6,
то при втором броске 15 получить было бы невозможно, так как на двух боковых гранях
было бы 4 и 5,
а сочетания с суммой 15, содержащего оба эти числа нет.
Значит, 12 "выпало" как 1—2—4—5. Следовательно,
напротив тройки написана шестерка.
Стоит еще показать, что такой кубик вообще существует.
Например, годится кубик на котором на противоположных гранях
написаны числа 1—5, 2—4 и 3—6 соответственно.
Авторское решение.
Заметим, что сумма всех чисел, написанных на кубике, равна 21.
Сумма чисел на верхней и нижней грани равна в 1-м и 2-м случаях 9 и 6
соответственно.
Из 1-го броска следует, что либо 3 напротив 6, либо 4 напротив 5.
Предположим, что 4 напротив 5.
Но из 2-го броска следует, что либо 1 напротив 5,
либо 2 напротив 4.
Противоречие, следовательно, 3 напротив 6.
Стоит еще показать, что такой кубик вообще существует.
Например, годится кубик на котором на противоположных гранях написаны
числа 1—5, 2—4 и 3—6 соответственно.
Дата последнего изменения — 17 февраля 2003 года

Ответ. Нет.
Решение. Например, квадрат со стороной 2/3 можно разрезать
средней линией на два прямоугольника, периметры которых равны 2.
Есть и другие примеры.