Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Решение:
Если рядом стоят числа a и b, то следующим стоит число b/a,
за ним 1/a, потом 1/b, наконец, a/b. Такие шесть
чисел удовлетворяют условию задачи. Конечно, при неудачном
выборе чисел a и b какие-то из указанных выше шести чисел
совпадут, но нас это не остановит: для решения задачи достаточно
предъявить один пример. Например, взять a=2, b=3.
Ответ:

Решение:
Если оптовая цена ручки x рублей, то 5-x=10-3x, откуда
x=2,5. Значит, оптовая цена - 2 рубля 50 копеек.
Ответ: Оптовая цена ручки - 2 рубля 50 копеек.

Решение:
2001=3*23*29. Поэтому число 2001 можно представить
в виде произведения двузначных чисел лишь следующими способами:
69*29 или 23*87.
Ответ: АХ=29, УХ=69 или наоборот, АХ=69, УХ=29.

Решение:
Докажем от противного,
что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть их было
8. Тогда каждый набрал не менее 0,7*11=7,7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким
образом, все они в сумме набрали не менее 8*8=64 очков. При этом в партиях с
участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4
очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4*8 = 32 очков.
Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях
между собой не менее 32 очков.
Подсчитаем, сколько партий сыграли
между собой эти 8 мастеров. Если мы будем результаты партий записывать в таблицу
8*8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не
играется) и на каждую партию будет выделено по две клетки: в строке одного из
игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет (8*8-8)/2=28. В каждой
партии разыгрывается одно очко, поэтому в этих партиях мастера в сумме наберут
ровно 28 очков, что меньше 32. Противоречие.
Если же звание мастера
получили 9 или более участников, то они должны были набрать не менее 72 очков, в
то время как всего в турнире разыгрывалось (12*11)/2=66 очков. Теперь приведём
пример турнира, в котором звание мастера получили 7 участников. Пусть первые 7
(по списку) участников всегда выигрывали у последних 5, а все остальные партии
завершились вничью. Тогда первые 7 участников набрали по 1*5+0,5*6=8 очков, а
последние 5 - по 0*7+0,5*4=2 очка.
Дата последнего изменения: 21 февраля 2002 года

Решение:
Пример изображён на рисунке. (Существуют и другие
примеры закрашивания 42 клеток. Закрасить 43 клетки невозможно.

Решение:
Приводим два возможных
решения (без сомнения, есть много других):
/ A 1 AB - искомый
/ A 1 BD = / ABD
- искомый

Решение:
Пусть сейчас год-палиндром, имеющий вид abba .
Когда наступит следующий такой год? Рассмотрим два случая:
а) b=9 (год вида
a99a ). Тогда через 11 лет наступит ещё один год-палиндром:
( a+1 ) 00 ( a+1 ) . Например, годы 3993 и 4004.
б) b<9. В этом случае следующий год-палиндром наступит через 110 лет:
a ( b+1 ) ( b+1 ) a .
Например, годы 9339
и 9449. Поэтому наибольшее число годов-непалиндромов подряд - 109.
Примечание: стоящие подряд жирные цифры и буквы, а также выражения в
жирных скобках следует считать цифрами числа, а не сомножителями.
Ответ: 109 лет.

Решение:
Допустим, число 1 не покрашено. Если наименьшее из
покрашенных чисел двузначное, то первый из непокрашенных участков состоит из
нечётного числа цифр, а все остальные - из чётного числа цифр. Если же
наименьшее из покрашенных чисел однозначное, то первый из непокрашенных участков
состоит не более чем из 8 цифр. Но это слишком мало: покрашенных цифр в этом
случае не более 5, непокрашенных - не более 8*4=32, итого - не более 37 цифр, а
даже самый короткий месяц (февраль невисокосного года) даёт 47 цифр. В обоих
случаях получили противоречие. Значит, число 1 должно быть покрашено.
Дата последнего изменения: 21 февраля 2002 года

Решение:
Вот пример такого вопроса:
"Правда ли, что у тебя
золотых монет больше, чем у Алёши Поповича?"
Если у Ильи Муромца две золотые
монеты, он скажет "да", поскольку у Алёши Поповича не может быть больше одной
золотой монеты.
Если обе монеты Ильи серебряные, то у Алёши хотя бы одна
золотая, и Илья Муромец ответит "нет".
Ну а если ему достались разные
монеты, то он ответит "не знаю", так как у Алёши может оказаться как две
золотые, так и две серебряные монеты.
Конечно, можно было задать и
другие вопросы, например:
- Правда ли, что одному из двух других богатырей
достались две серебряные монеты?
- Верно ли, что два других богатыря
получили хотя бы по одной золотой монете каждый?
- Если я заберу у тебя одну
монету и дам вместо неё золотую, станет ли у тебя больше золотых?
(Заметьте,
что в последнем вопросе не упоминаются монеты двух других богатырей, а только
монеты, доставшиеся Илье Муромцу!)

Решение:
Если мы умеем закрашивать
33 клетки, то 32 клетки можно закрасить, вовремя остановившись. Три примера, в
которых закрашены 33 клетки, изображены на рисунке (на самом деле, таких
примеров гораздо больше). Больше 33 клеток закрасить нельзя - это проверено на
компьютере.