Я сам решу.
А застряну — спрошу.

Решение.
Обозначим числа, стоящие в вершинах куба,
соответствующими маленькими латинскими буквами:
a, b, c, d, e, f, g и h.
Рассмотрим наименьшее из этих чисел. Без ограничения общности мы можем
считать, что это число a (оно находится в вершине A). Тогда числа в
соседних с A вершинах (это вершины B, D и E) могут принимать
только значения a или a+1 (так как a-1<a). Значит, какие-нибудь
два из чисел b, d и e равны.
Пусть равные числа стоят в вершинах B и E (остальные случаи
рассматриваются аналогично). В этом случае ответом будут диаметрально
противоположные вершины E и C: e=b, а числа c и b отличаются не более,
чем на 1, поэтому числа e и c отличаются не более, чем на 1.
Авторы задач:
А. Ю. Митягин (1), В. В. Клепцын (2), А. Шень (3),
В. В. Произволов (4), Г. А. Гальперин (5)
Дата последнего изменения: 15 февраля 2000 года

Ответ: Нет, не может.
Решение.
Докажем методом от противного.
Предположим, что найдутся два натуральных числа k и n такие, что
n(n+1)=2k(2k+2). Отметим числа 2k и 2k+2 на числовой оси и рассмотрим два
случая: n < 2k и n>2k.
Если n < 2k, то n+1<2k+2, поэтому
n(n+1)<2k(2k+2). Противоречие.
Если n>2k, то n+1 > 2k+2, поэтому
n(n+1)>2k(2k+2). Противоречие.

.
Решение.
На рисунке цифрами отмечены вершины семи приложенных треугольников.
Найдите сами, какие стороны получаются равными.

Решение.
а) Да, достаточно прибавить к числителю и знаменателю по 77.
(К этому числу приводит уравнение 2(10+x)=97+x.)
б) Нет. Действительно, дробь равна единице, если
ее числитель и знаменатель равны. А Малыш никак не сможет из
неравных чисел сделать равные.