Я сам решу.
А застряну — спрошу.

9. Обход королём Две клетки шахматной доски назовём смежными, если они имеют
хотя бы одну общую вершину. Можно ли королём обойти всю доску, посетив каждую
клетку ровно один раз так, чтобы все ходы, кроме первого, совершались в клетки,
смежные с чётным числом клеток, на которых король уже побывал?
Олимпиада «Балтийский Путь», 1999 г.
Ответ: нельзя.
Решение. Рассмотрим произвольный обход королём доски. В каждой клетке

запишем число, равное количеству смежных с ней клеток, на которых король уже
побывал, и сложим все полученные числа. Заметим, что каждая пара смежных клеток
даёт единичный вклад в эту сумму (в тот момент, когда король второй раз посетил клетку
из этой пары). Таким образом, наша сумма равна количеству пар смежных клеток, то есть
(4⋅3 + 24⋅5 + 36⋅8) : 2 = 210 (четыре угловые клетки доски имеют по три смежных с ними,
24 клетки вдоль границы – по пять смежных, а остальные – по восемь смежных). Эта
сумма чётна, поэтому количество нечётных слагаемых в ней чётно. При этом первые два
слагаемых равны 0 и 1, значит, должно быть по крайней мере ещё одно нечётное
слагаемое.
Можно не вычислять точное количество пар смежных клеток, а просто сказать,

что это количество чётно, поскольку вертикальных пар столько же, сколько и
горизонтальных, а диагональных белых пар столько же, сколько и диагональных
чёрных (при шахматной раскраске доски).









4

8. Монеты. Шесть монет лежат так, как показано на рисунке. Две из них
фальшивые, они весят одинаково и легче настоящих. Известно, что
фальшивые монеты касаются друг друга. За какое наименьшее
количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно
гарантировано определить фальшивые монеты?
Фольклор
Ответ: за два взвешивания.
Решение. Одного взвешивания не хватит. Действительно, оно

может иметь три результата: первая чаша тяжелее, первая чаша легче
или равновесие. Но возможных пар монет явно больше трёх, поэтому
найти нужную пару с помощью одного взвешивания нельзя.
Покажем, как можно определить фальшивые монеты за два
взвешивания. Пронумеруем монеты, например, так, как показано на рис. 8. Два Рис. 8
различных способа решения удобно представить в виде таблиц.






3





Первый способ.

Первое взвешивание
1 + 2 = 3 + 4 1 + 2 < 3 + 4 1 + 2 > 3 + 4
Подозрительные пары монет по его результатам
2; 3 или 2; 4 или 5; 6 1; 2 или 1; 6 или 2; 6 3; 4 или 4; 5 или 4; 6

Второе взвешивание
1 + 3 = 5 + 61 + 3 > 5 + 61 + 3 < 5 + 61 + 3 = 5 + 61 + 3 > 5 + 61 + 3 < 5 + 61 + 6 = 2 + 31 + 6 > 2 + 31 + 6 < 2 + 3
Фальшивые монеты
2 и 4 5 и 6 2 и 3 1 и 6 2 и 6 1 и 2 4 и 5 3 и 4 4 и 6
Второй способ.

Первое взвешивание
2 = 6 2 < 6 2 > 6
Подозрительные пары монет по его результатам
2; 6 или 3; 4 или 4; 5 1; 2 или 2; 3 или 2; 4 1; 6 или 4; 6 или 5; 6
Второе взвешивание

3 = 5 3 > 5 3 < 5 1 = 4 1 > 4 1 < 4 1 = 4 1 > 4 1 < 4
Фальшивые монеты
2 и 6 4 и 5 3 и 4 2 и 3 2 и 4 1 и 2 5 и 6 4 и 6 1 и 6
Заметим, что соседних монет – девять пар. Первым взвешиванием их
необходимо разделить на три группы, в каждой из которых три пары монет. Тогда

второе взвешивание позволит выбрать нужную пару из трёх. Если бы пар соседних
монет было хотя бы десять, то двух взвешиваний не хватило бы.

3. Тарелки. На полке стояло пять стопок чистых тарелок. В них было 11, 3, 10, 18 и 7
тарелок, а ещё много грязных тарелок лежало в мойке. Сначала пришёл Петя, помыл
несколько тарелок и добавил их в одну из стопок. Потом пришёл Вася, помыл несколько
тарелок и также добавил их в одну из стопок. В конце пришла Таня, не стала мыть
тарелки, а просто объединила две стопки в одну. В итоге получилось четыре стопки с
одинаковым количеством тарелок. Сколько всего тарелок вымыли?
Т. Казицына

Ответ: 23 тарелки.
Решение. Так как первоначально в стопках было различное количество тарелок, то
чтобы получить стопки с одинаковым их количеством, надо было произвести операции
ровно с четырьмя из них – в две стопки добавить тарелки, а ещё две объединить в одну.
Таким образом, размеры всех этих стопок увеличились, поэтому они могли стать
равными только самой большой стопке, в которой 18 тарелок. Поскольку из четырёх
остальных стопок сумму 18 дают только стопки высотой 11 и 7 тарелок, то именно они
были объединены. Следовательно, в остальные две стопки из 3 и 10 тарелок было
добавлено 15 и 8 вымытых тарелок соответственно, то есть всего было вымыто 23
тарелки.








1

2. Рыбка. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на три
равные части.
М. Волчкевич
Ответ: см. рис. 2а.
Решение легче найти, если построить квадраты, сторонами
которых являются диагонали клеток (см. рис. 2б).

Рис. 2а

Рис. 2б

1. Получить 2020. Найдётся ли шестизначное число, кратное 31, из которого можно
удалить две одинаковые цифры и при этом получить 2020?
А. Шаповалов
Ответ: найдётся.
Решение. Например, можно в числе 2020 перед каждой двойкой добавить цифру 6 и
получить число 620620, которое кратно 31.
Чтобы найти этот пример, достаточно заметить, что число 2020 состоит из

двух одинаковых частей, поэтому можно попытаться добавить одну цифру к числу 20
так, чтобы получилось число, кратное 31. Поскольку 62 делится на 31, то дальнейшее
очевидно. Существуют ещё два «побочных» решения: 323020 и 320230.