Я сам решу.
А застряну — спрошу.

2. Многоугольник. Внутри выпуклого многоугольника нашлась точка, которая до
середины каждой стороны, кроме одной, удалена на половину этой стороны. Обязательно
ли это верно и для оставшейся стороны?
А. Пешнин
Ответ: обязательно.
Решение. Рассмотрим фрагмент данного многоугольника
(см. рисунок, Р – указанная точка, АВ – одна из сторон, для
которой выполняется условие, М – середина АВ). По
условию РМ = 0,5АВ, значит, ∠АРВ = 90°. Аналогичное
утверждение верно для всех сторон, кроме той, которая

выделена в условии. Значит, полный угол вокруг точки Р, равный 360°, разбивается на
несколько слагаемых по 90°, а оставшееся слагаемое меньше 180°. Тогда оно также
равно 90°, то есть оставшийся треугольник также прямоугольный, поэтому его медиана,
проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, и от середины оставшейся
стороны точка Р удалена на половину этой стороны.
Из приведённого рассуждения следует, что многоугольник, указанный в условии,
является четырёхугольником, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в
точке Р.

1. По кругу. Петя расставил по кругу числа от 1 до 15 в некотором порядке и вычислил
разность каждых двух соседних чисел (вычитая из большего числа меньшее). Может ли

сумма всех полученных разностей равняться 24?
Baltic Way, 1990, упрощение
Ответ: нет.
Решение. Пусть это возможно. Рассмотрим числа 1 и 15. Пусть на одной из дуг между
ними стоят по порядку числа а , а , ..., a . Тогда |а – 1| + |а – а | + ... + |15 – а | ≥ (а – 1) +
1 2 k 1 2 1 k 1
(а – а ) + ... + (15 – а ) = 15 – 1 = 14. Это верно и для расстановки чисел на второй дуге
2 1 k
между 1 и 15. Таким образом, для всей расстановки указанная сумма будет не меньше,
чем 14 + 14 = 28. Противоречие.

4) против часовой стрелки до станции K.
Заметим, что в циклах X и Y нечётное количество станций, поэтому не могут быть
кратчайшими одновременно маршруты 1 и 3, 2 и 4, 1 и 4, а также 2 и 3 (в каждой из этих
пар чётности длин маршрутов различны). Маршруты 3 и 4 не могут быть одновременно
кратчайшими, так как в них используется движение против часовой стрелки по X.
Следовательно, кратчайшими являются маршруты 1 и 2. Цикл Z состоит из десяти
станций, и по нему от станции G до школы одинаково ехать по часовой стрелке и против
часовой стрелки, значит, школа находится на станции 1. Тогда Вася живёт на станции F,
поскольку от любой другой станции над хордой путь до станции 1 ближе через станцию
K.

2. Метро. Метро состоит из кольцевой линии и хорды (см.
рисунок). Между каждыми двумя соседними станциями ехать по
времени одинаково, на пересадку между кольцевой линией и
хордой время не тратится. Вася живёт на одной из шести станций
над хордой, а школа расположена на одной из пяти станций внутри
хорды. От Васиного дома до школы есть два различных
кратчайших маршрута, причём хотя бы в одном из них нужно ехать

по кольцевой линии по часовой стрелке. На каких станциях
расположены Васин дом и школа?
Т. Корчёмкина
Ответ: Васин дом – на станции F, школа – на станции 1.
Решение. На схеме можно выделить три цикла. Обозначим кольцевую линию через X,
цикл из хорды и станций над ней – через Y, а цикл из хорды и станций под ней – через Z.
На пути из дома в школу Вася должен доехать до одной из станций G или K и там
пересесть на хорду. У него есть четыре варианта добраться до пересадочной станции:

1. Семь дробей. Найдутся ли семь различных правильных несократимых дробей со
знаменателями от 2 до 6 и с суммой 4?

А. Шаповалов
Ответ: найдутся.
1 2 1 2 3 4 5
Решение. Например, + + + + + + =4.
2 3 5 5 5 5 6
Пример помогают построить следующие соображения. Всего есть 11
положительных правильных несократимых дробей со знаменателями от 2 до 6: 1/2,
1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6. Их сумма равна 5,5, поэтому нужно убрать
четыре из них с суммой 1,5. Так как 1/3 + 1/6 = 0,5, то осталось убрать две дроби с
суммой 1, например, 1/4 и 3/4.
Отметим, что в условии не оговорено, что каждая дробь положительная, но
примера с отрицательными дробями не существует.