Я сам решу.
А застряну — спрошу.

3. Календарные кубики. У Жени
0 9 3
есть четыре «календарных» кубика, с
1 8 6 7 5 0 8 0 1
помощью которых можно выложить
любую дату в формате ЧЧММ. 3 4 2
Например, 6 апреля – это 0604. Как
2 1 9
устроены три кубика – показано на
трёх развёртках (см. рисунок). Какие
цифры написаны на четвёртом кубике? Цифры 6 и 9 взаимозаменяемы, так как
получаются друг из друга поворотом.
М. Евдокимов
Ответ: 0,1, 2, 4, 5, 7
Решение. Рассмотрим следующие даты: 11.11, 22.12, 04.04, 05.05 и 07.07. Заметим,
что на трёх известных кубиках только три единицы, две двойки и по одной четверке,
пятерке и семёрке. Значит, четвертая единица, третья двойка и вторые четверка, пятерка
и семёрка, необходимые для перечисленных дат, обязаны быть на четвертом кубике.
Далее рассмотрим дату 03.03. Обе цифры 0 и 3 есть на первом и третьем кубиках,
поэтому мы не можем использовать их одновременно, значит, на четвёртом кубике
1





должна быть одна из них. Аналогичная ситуация возникнет, если рассмотреть дату 08.08.

Следовательно, на четвёртом кубике должен быть еще 0.
Доказывать, что такими четырьмя кубиками можно выложить любую дату, от
участников не требуется.

2. Праздничный торт. Маша испекла на праздник торт, имеющий
форму прямоугольного параллелепипеда, в основании которого –
квадрат размером 4×4 (см. рисунок). Верх и четыре боковые грани

торта покрыты тонким слоем шоколадной глазури постоянной
толщины. Легко разрезать торт на четыре одинаковые части так, что и
глазури в каждом из кусков будет поровну. А можно ли по линиям
сетки разрезать торт на четыре части равного объёма так, чтобы все
куски имели разное количество глазури?
М. Евдокимов
Ответ: можно
Решение. Посмотрим на торт сверху и разрежем его так, как
показано на рис. 1. Все части торта имеют равную площадь
основания, а значит и равный объём, при этом глазури сверху на
этих частях также поровну. Но эти части имеют различную длину

отрезков основания, примыкающих к границе (6, 1, 4 и 5
соответственно). Значит, на боковых гранях у кусков торта разное
количество глазури.
Рис. 1
Существуют и другие примеры.

1. Кофе. В течение марта Вася выпил 12 стаканчиков кофе в разных кафе, кофейнях,
магазинах и на автозаправках. Объёмы всех стаканов одинаковые. Через некоторое
время он подсчитал, что в среднем выпил 84 г кофе на каждые 100 р, потраченные на
кофе. По случаю дня рождения Васи владелец ближайшей кофейни налил ему три
стакана кофе бесплатно. Вася тут же пересчитал среднюю массу выпитого кофе в
расчете на 100 р. Сколько теперь граммов у него вышло?

И. Высоцкий
Ответ: 105 г.
Решение. Всего Вася выпил 12 + 3 = 15 стаканов кофе за те же деньги, что и 12
стаканов. Получается, что Вася выпил в 15 : 12 = 1,25 раза больше кофе, значит, и на
каждые 100 рублей приходится в 1,25 раза больше кофе, то есть 84⋅1,25 = 105 (г).

2. Расстояния и высоты. В остроугольном треугольнике ABC высота BH вдвое
больше расстояния от H до BC. Докажите, что высота AK вдвое больше расстояния от K
до AC.
Фольклор
Решение. Пусть основания перпендикуляров из H на
Рис. 1
BC и из K на AC – это точки P и Q соответственно (см.
рис. 1). Тогда BPH – прямоугольный треугольник с катетом
НР, который вдвое меньше гипотенузы ВН. Значит, ∠HBP
= 30°, тогда ∠BСА = 60°. Из прямоугольного треугольника
KAC получим, что ∠KAQ = 30°. Следовательно, в
прямоугольном треугольнике AKQ катет KQ вдвое меньше
гипотенузы AK.
Отметим, что для тупоугольного треугольника
утверждение остаётся верным и рассуждения аналогичны.

1. Странное число. Существует ли такое натуральное число, у которого сумма цифр в
десятичной записи равна 100, а у удвоенного числа – 110?
Олимпиада Чили для юниоров, 2012 г.
Ответ: существует.
Решение. Например, 1919...19 (10 единиц и 10 девяток). Действительно, сумма его
цифр равна 100, а удвоенное число – это 3838...38 (10 троек и 10 восьмерок), у которого
сумма цифр равна 110.
Существует и много других примеров. Все примеры строятся из следующего
соображения: при умножении числа на 2 «в столбик» должно быть ровно 10 переходов
через десяток (то есть в числе должно быть 10 цифр, которые не меньше 5), так как

каждый переход уменьшает сумму цифр результата на 9.